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Theorem fpwipodrs 14267
Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fpwipodrs  |-  ( A  e.  V  ->  (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset )

Proof of Theorem fpwipodrs
Dummy variables  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4194 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
2 inex1g 4157 . . 3  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
4 0elpw 4180 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P A
5 0fin 7087 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
6 elin 3358 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
74, 5, 6mpbir2an 886 . . 3  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
8 ne0i 3461 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
97, 8mp1i 11 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
10 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin ) )
11 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P A  /\  y  e.  Fin ) )
12 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
13 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
y  C_  A )
1412, 13anim12i 549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  A  /\  y  C_  A ) )
15 unss 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  A  /\  y  C_  A )  <->  ( x  u.  y )  C_  A
)
16 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
17 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1816, 17unex 4518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
1918elpw 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P A  <->  ( x  u.  y )  C_  A
)
2015, 19bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  y  C_  A )  <->  ( x  u.  y )  e.  ~P A )
2114, 20sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  u.  y )  e.  ~P A )
2221ad2ant2r 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ~P A
)
23 unfi 7124 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
2423ad2ant2l 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  Fin )
25 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P A  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
2622, 24, 25sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
2710, 11, 26syl2anb 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
28 ssid 3197 . . . . 5  |-  ( x  u.  y )  C_  ( x  u.  y
)
29 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  (
( x  u.  y
)  C_  z  <->  ( x  u.  y )  C_  (
x  u.  y ) ) )
3029rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  y
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( x  u.  y
)  C_  ( x  u.  y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( x  u.  y
)  C_  z )
3127, 28, 30sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
)
3231rgen2a 2609 . . 3  |-  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
3332a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
)
34 isipodrs 14264 . 2  |-  ( (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset  <->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
) )
353, 9, 33, 34syl3anbrc 1136 1  |-  ( A  e.  V  ->  (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255   Fincfn 6863  Dirsetcdrs 14061  toInccipo 14254
This theorem is referenced by:  isacs5lem  14272  isnacs3  26785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ocomp 13229  df-preset 14062  df-drs 14063  df-poset 14080  df-ipo 14255
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