MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwipodrs Structured version   Unicode version

Theorem fpwipodrs 14580
Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fpwipodrs  |-  ( A  e.  V  ->  (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset )

Proof of Theorem fpwipodrs
Dummy variables  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4375 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
2 inex1g 4338 . . 3  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
4 0elpw 4361 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P A
5 0fin 7328 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
6 elin 3522 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
74, 5, 6mpbir2an 887 . . 3  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
8 ne0i 3626 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
97, 8mp1i 12 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
10 elin 3522 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin ) )
11 elin 3522 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P A  /\  y  e.  Fin ) )
12 elpwi 3799 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
13 elpwi 3799 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
y  C_  A )
1412, 13anim12i 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  A  /\  y  C_  A ) )
15 unss 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  A  /\  y  C_  A )  <->  ( x  u.  y )  C_  A
)
16 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
17 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1816, 17unex 4699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
1918elpw 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P A  <->  ( x  u.  y )  C_  A
)
2015, 19bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  y  C_  A )  <->  ( x  u.  y )  e.  ~P A )
2114, 20sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  u.  y )  e.  ~P A )
2221ad2ant2r 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ~P A
)
23 unfi 7366 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
2423ad2ant2l 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  Fin )
25 elin 3522 . . . . . . 7  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P A  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
2622, 24, 25sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
2710, 11, 26syl2anb 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
28 ssid 3359 . . . . 5  |-  ( x  u.  y )  C_  ( x  u.  y
)
29 sseq2 3362 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  (
( x  u.  y
)  C_  z  <->  ( x  u.  y )  C_  (
x  u.  y ) ) )
3029rspcev 3044 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  y
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( x  u.  y
)  C_  ( x  u.  y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( x  u.  y
)  C_  z )
3127, 28, 30sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
)
3231rgen2a 2764 . . 3  |-  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
3332a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
)
34 isipodrs 14577 . 2  |-  ( (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset  <->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
) )
353, 9, 33, 34syl3anbrc 1138 1  |-  ( A  e.  V  ->  (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   ` cfv 5446   Fincfn 7101  Dirsetcdrs 14374  toInccipo 14567
This theorem is referenced by:  isacs5lem  14585  isnacs3  26718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ocomp 13540  df-preset 14375  df-drs 14376  df-poset 14393  df-ipo 14568
  Copyright terms: Public domain W3C validator