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Theorem fpwwe2 8265
Description: Given any function  F from well-orderings of subsets of  A to  A, there is a unique well-ordered subset  <. X ,  ( W `  X )
>. which "agrees" with  F in the sense that each initial segment maps to its upper bound, and such that the entire set maps to an element of the set (so that it cannot be extended without losing the well-ordering). This theorem can be used to prove dfac8a 7657. Theorem 1.1 of [KanamoriPincus] p. 415. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
fpwwe2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
fpwwe2.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
fpwwe2.4  |-  X  = 
U. dom  W
Assertion
Ref Expression
fpwwe2  |-  ( ph  ->  ( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  <->  ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, r, x, F    X, r, u, x, y    ph, r, u, x, y    A, r, x    R, r, u, x, y    Y, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
2 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
4 fpwwe2.4 . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. dom  W
51, 2, 3, 4fpwwe2lem11 8262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W : dom  W --> ~P ( X  X.  X
) )
6 ffun 5391 . . . . . . . . . 10  |-  ( W : dom  W --> ~P ( X  X.  X )  ->  Fun  W )
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  W )
8 funbrfv2b 5567 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
W  ->  ( Y W R  <->  ( Y  e. 
dom  W  /\  ( W `  Y )  =  R ) ) )
97, 8syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y W R  <-> 
( Y  e.  dom  W  /\  ( W `  Y )  =  R ) ) )
109simprbda 606 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y W R )  ->  Y  e.  dom  W )
1110adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y  e.  dom  W )
12 elssuni 3855 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  dom  W  ->  Y  C_  U. dom  W
)
1312, 4syl6sseqr 3225 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  dom  W  ->  Y  C_  X )
1411, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y  C_  X )
15 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  Y  /\  ( W `  X )  =  ( R  i^i  ( Y  X.  X
) ) )  ->  X  C_  Y )
1615a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( X  C_  Y  /\  ( W `  X )  =  ( R  i^i  ( Y  X.  X ) ) )  ->  X  C_  Y
) )
17 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( Y F R )  e.  Y
)
181, 2, 3, 4fpwwe2lem12 8263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  W
)
19 funfvbrb 5638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
W  ->  ( X  e.  dom  W  <->  X W
( W `  X
) ) )
207, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  dom  W  <-> 
X W ( W `
 X ) ) )
2118, 20mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X W ( W `
 X ) )
221, 2fpwwe2lem2 8254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X W ( W `  X )  <-> 
( ( X  C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) )  /\  ( ( W `
 X )  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
2321, 22mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( X  C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) )  /\  ( ( W `
 X )  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
2423ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X 
C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X
) )  /\  (
( W `  X
)  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X ) " {
y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X )  i^i  (
u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
2524simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  C_  A  /\  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) ) )
2625simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  X  C_  A
)
272adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  A  e.  _V )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  A  e.  _V )
29 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  C_  A  /\  A  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
3026, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  X  e.  _V )
31 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  \  Y )  e. 
_V )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  \  Y )  e.  _V )
3324simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( W `
 X )  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' ( W `  X
) " { y } )  /  u ]. ( u F ( ( W `  X
)  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) )
3433simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( W `  X )  We  X
)
35 wefr 4383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W `  X )  We  X  ->  ( W `  X )  Fr  X )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( W `  X )  Fr  X
)
37 difss 3303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X 
\  Y )  C_  X
3837a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  \  Y )  C_  X
)
39 fri 4355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  \  Y )  e.  _V  /\  ( W `  X
)  Fr  X )  /\  ( ( X 
\  Y )  C_  X  /\  ( X  \  Y )  =/=  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  Y ) A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z )
4039expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  \  Y )  e.  _V  /\  ( W `  X
)  Fr  X )  /\  ( X  \  Y )  C_  X
)  ->  ( ( X  \  Y )  =/=  (/)  ->  E. z  e.  ( X  \  Y ) A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z ) )
4132, 36, 38, 40syl21anc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  Y )  =/=  (/)  ->  E. z  e.  ( X  \  Y ) A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z ) )
42 ssdif0 3513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X
) " { z } ) )  C_  Y 
<->  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) 
\  Y )  =  (/) )
43 indif1 3413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  Y )  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) 
\  Y )
4443eqeq1i 2290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  Y
)  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  (/)  <->  (
( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) 
\  Y )  =  (/) )
45 disj 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  \  Y
)  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  (/)  <->  A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w  e.  ( `' ( W `
 X ) " { z } ) )
46 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
47 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  w  e. 
_V
4847eliniseg 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  _V  ->  (
w  e.  ( `' ( W `  X
) " { z } )  <->  w ( W `  X )
z ) )
4946, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( `' ( W `  X )
" { z } )  <->  w ( W `
 X ) z )
5049notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  w  e.  ( `' ( W `  X
) " { z } )  <->  -.  w
( W `  X
) z )
5150ralbii 2567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w  e.  ( `' ( W `
 X ) " { z } )  <->  A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `  X ) z )
5245, 51bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  Y
)  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  =  (/)  <->  A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w
( W `  X
) z )
5342, 44, 523bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X
) " { z } ) )  C_  Y 
<-> 
A. w  e.  ( X  \  Y )  -.  w ( W `
 X ) z )
54 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( W `  X
) " { z } )  C_  dom  ( W `  X )
5525simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( W `  X )  C_  ( X  X.  X ) )
56 dmss 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W `  X ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  dom  ( W `  X ) 
C_  dom  ( X  X.  X ) )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  dom  ( W `  X )  C_  dom  ( X  X.  X
) )
58 dmxpid 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
5957, 58syl6sseq 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  dom  ( W `  X )  C_  X
)
6054, 59syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  X )
61 dfss1 3373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  X 
<->  ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) )  =  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
6260, 61sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  i^i  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) )  =  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
6362sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X  i^i  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )  C_  Y  <->  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )
6453, 63syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( X  \  Y
)  -.  w ( W `  X ) z  <->  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)
6564rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( X  \  Y
) A. w  e.  ( X  \  Y
)  -.  w ( W `  X ) z  <->  E. z  e.  ( X  \  Y ) ( `' ( W `
 X ) " { z } ) 
C_  Y ) )
66 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ( X  \  Y )  ->  -.  z  e.  Y )
6766ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  -.  z  e.  Y
)
68 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  Y  <->  z  e.  Y ) )
6968notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  w  e.  Y  <->  -.  z  e.  Y ) )
7067, 69syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( w  =  z  ->  -.  w  e.  Y ) )
7170con2d 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( w  e.  Y  ->  -.  w  =  z ) )
7271imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  -.  w  =  z )
7367adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  -.  z  e.  Y )
74 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) )
7574ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) )
7675breqd 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  <->  z (
( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) w ) )
77 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  e.  ( X  \  Y )  ->  z  e.  X )
7877ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
z  e.  X )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  z  e.  X )
80 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
81 brxp 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z ( X  X.  Y
) w  <->  ( z  e.  X  /\  w  e.  Y ) )
8279, 80, 81sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  z
( X  X.  Y
) w )
83 brin 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y ) ) w  <->  ( z ( W `  X ) w  /\  z ( X  X.  Y ) w ) )
8483rbaib 873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z ( X  X.  Y
) w  ->  (
z ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) w  <->  z ( W `  X )
w ) )
8582, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) w  <->  z ( W `  X )
w ) )
8676, 85bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  <->  z ( W `  X )
w ) )
871, 2fpwwe2lem2 8254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( Y W R  <-> 
( ( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( R  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
8887biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  Y W R )  ->  (
( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( R  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
8988adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( R  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
9089simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( Y  C_  A  /\  R  C_  ( Y  X.  Y ) ) )
9190simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  R  C_  ( Y  X.  Y ) )
9291ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  R  C_  ( Y  X.  Y
) )
9392ssbrd 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  -> 
z ( Y  X.  Y ) w ) )
94 brxp 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z ( Y  X.  Y
) w  <->  ( z  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )
9594simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z ( Y  X.  Y
) w  ->  z  e.  Y )
9693, 95syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z R w  -> 
z  e.  Y ) )
9786, 96sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
z ( W `  X ) w  -> 
z  e.  Y ) )
9873, 97mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  -.  z ( W `  X ) w )
9934ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  ( W `  X )  We  X )
100 weso 4384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W `  X )  We  X  ->  ( W `  X )  Or  X )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  ( W `  X )  Or  X )
10214ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  Y  C_  X )
103102sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  X )
104 sotric 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W `  X
)  Or  X  /\  ( w  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
w ( W `  X ) z  <->  -.  (
w  =  z  \/  z ( W `  X ) w ) ) )
105 ioran 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( w  =  z  \/  z ( W `
 X ) w )  <->  ( -.  w  =  z  /\  -.  z
( W `  X
) w ) )
106104, 105syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W `  X
)  Or  X  /\  ( w  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
w ( W `  X ) z  <->  ( -.  w  =  z  /\  -.  z ( W `  X ) w ) ) )
107101, 103, 79, 106syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
w ( W `  X ) z  <->  ( -.  w  =  z  /\  -.  z ( W `  X ) w ) ) )
10872, 98, 107mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w
( W `  X
) z )
109108, 49sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  ( `' ( W `
 X ) " { z } ) )
110109ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( w  e.  Y  ->  w  e.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) )
111110ssrdv 3185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  Y  C_  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
112 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( `' ( W `
 X ) " { z } ) 
C_  Y )
113111, 112eqssd 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  Y  =  ( `' ( W `  X )
" { z } ) )
114 in32 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) )  i^i  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  i^i  ( X  X.  Y ) )
115 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) )
116115ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( R  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y ) )  i^i  ( Y  X.  Y
) ) )
11791ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  C_  ( Y  X.  Y ) )
118 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R 
C_  ( Y  X.  Y )  <->  ( R  i^i  ( Y  X.  Y
) )  =  R )
119117, 118sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( R  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  R )
120116, 119eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  R )
121 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( Y  X.  Y
)
122 xpss1 4795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y 
C_  X  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  Y
) )
123102, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
124121, 123syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  ( X  X.  Y ) )
125 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W `  X
)  i^i  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( X  X.  Y
)  <->  ( ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  i^i  ( X  X.  Y
) )  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( Y  X.  Y ) ) )
126124, 125sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( ( W `
 X )  i^i  ( Y  X.  Y
) )  i^i  ( X  X.  Y ) )  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( Y  X.  Y
) ) )
127114, 120, 1263eqtr3a 2339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y
) ) )
128113, 113xpeq12d 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y  X.  Y
)  =  ( ( `' ( W `  X ) " {
z } )  X.  ( `' ( W `
 X ) " { z } ) ) )
129128ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( W `  X )  i^i  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( ( `' ( W `  X )
" { z } )  X.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) ) )
130127, 129eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( ( `' ( W `  X )
" { z } )  X.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) ) )
131113, 130oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y F R )  =  ( ( `' ( W `  X ) " {
z } ) F ( ( W `  X )  i^i  (
( `' ( W `
 X ) " { z } )  X.  ( `' ( W `  X )
" { z } ) ) ) ) )
13228adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  A  e.  _V )
13321adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  X W ( W `  X ) )
134133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  X W ( W `  X ) )
1351, 132, 134fpwwe2lem3 8255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y
) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y
)  /\  ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y )
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( `' ( W `
 X ) " { z } ) F ( ( W `
 X )  i^i  ( ( `' ( W `  X )
" { z } )  X.  ( `' ( W `  X
) " { z } ) ) ) )  =  z )
13678, 135mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( ( `' ( W `  X )
" { z } ) F ( ( W `  X )  i^i  ( ( `' ( W `  X
) " { z } )  X.  ( `' ( W `  X ) " {
z } ) ) ) )  =  z )
137131, 136eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y F R )  =  z )
138 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
z  e.  ( X 
\  Y ) )
139137, 138eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  -> 
( Y F R )  e.  ( X 
\  Y ) )
140 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y F R )  e.  ( X  \  Y )  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y )
141139, 140syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( X  \  Y )  /\  ( `' ( W `  X ) " {
z } )  C_  Y ) )  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y )
142141expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X  \  Y
) )  ->  (
( `' ( W `
 X ) " { z } ) 
C_  Y  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y ) )
143142rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( X  \  Y
) ( `' ( W `  X )
" { z } )  C_  Y  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y ) )
14465, 143sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( X  \  Y
) A. w  e.  ( X  \  Y
)  -.  w ( W `  X ) z  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y ) )
14541, 144syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  Y )  =/=  (/)  ->  -.  ( Y F R )  e.  Y
) )
146145necon4ad 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( Y F R )  e.  Y  ->  ( X  \  Y )  =  (/) ) )
14717, 146mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( X  \  Y )  =  (/) )
148 ssdif0 3513 . . . . . . . 8  |-  ( X 
C_  Y  <->  ( X  \  Y )  =  (/) )
149147, 148sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  X  C_  Y
)
150149ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( Y  C_  X  /\  R  =  ( ( W `  X
)  i^i  ( X  X.  Y ) ) )  ->  X  C_  Y
) )
1513adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
152 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y W R )
1531, 27, 151, 133, 152fpwwe2lem10 8261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( ( X  C_  Y  /\  ( W `  X )  =  ( R  i^i  ( Y  X.  X ) ) )  \/  ( Y 
C_  X  /\  R  =  ( ( W `
 X )  i^i  ( X  X.  Y
) ) ) ) )
15416, 150, 153mpjaod 370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  X  C_  Y )
15514, 154eqssd 3196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Y  =  X )
1567adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  Fun  W )
157155, 152eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  X W R )
158 funbrfv 5561 . . . . . 6  |-  ( Fun 
W  ->  ( X W R  ->  ( W `
 X )  =  R ) )
159156, 157, 158sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( W `  X
)  =  R )
160159eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  ->  R  =  ( W `  X ) )
161155, 160jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) )  -> 
( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) ) )
162161ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  ->  ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) ) ) )
1631, 2, 3, 4fpwwe2lem13 8264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( W `  X ) )  e.  X )
16421, 163jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X W ( W `  X )  /\  ( X F ( W `  X
) )  e.  X
) )
165 breq12 4028 . . . 4  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( Y W R  <-> 
X W ( W `
 X ) ) )
166 oveq12 5867 . . . . 5  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( Y F R )  =  ( X F ( W `  X ) ) )
167 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  ->  Y  =  X )
168166, 167eleq12d 2351 . . . 4  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( ( Y F R )  e.  Y  <->  ( X F ( W `
 X ) )  e.  X ) )
169165, 168anbi12d 691 . . 3  |-  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X ) )  -> 
( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  <->  ( X W ( W `  X )  /\  ( X F ( W `  X ) )  e.  X ) ) )
170164, 169syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X
) )  ->  ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y ) ) )
171162, 170impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( ( Y W R  /\  ( Y F R )  e.  Y )  <->  ( Y  =  X  /\  R  =  ( W `  X
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   {copab 4076    Or wor 4313    Fr wfr 4349    We wwe 4351    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858
This theorem is referenced by:  fpwwe  8268  canthwelem  8272  pwfseqlem4  8284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-riota 6304  df-recs 6388  df-oi 7225
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