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Theorem fpwwe2lem8 8259
Description: Lemma for fpwwe2 8265. Show by induction that the two isometries  M and  N agree on their common domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
fpwwe2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
fpwwe2.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
fpwwe2lem9.x  |-  ( ph  ->  X W R )
fpwwe2lem9.y  |-  ( ph  ->  Y W S )
fpwwe2lem9.m  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
fpwwe2lem9.n  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
fpwwe2lem9.s  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem8  |-  ( ph  ->  M  =  ( N  |`  dom  M ) )
Distinct variable groups:    y, u, r, x, F    X, r, u, x, y    M, r, u, x, y    N, r, u, x, y    ph, r, u, x, y    A, r, x    R, r, u, x, y    Y, r, u, x, y    S, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2lem8
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.m . . . 4  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
21oif 7245 . . 3  |-  M : dom  M --> X
3 ffn 5389 . . 3  |-  ( M : dom  M --> X  ->  M  Fn  dom  M )
42, 3mp1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  M  Fn  dom  M
)
5 fpwwe2lem9.n . . . . 5  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
65oif 7245 . . . 4  |-  N : dom  N --> Y
7 ffn 5389 . . . 4  |-  ( N : dom  N --> Y  ->  N  Fn  dom  N )
86, 7mp1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  N  Fn  dom  N
)
9 fpwwe2lem9.s . . 3  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
10 fnssres 5357 . . 3  |-  ( ( N  Fn  dom  N  /\  dom  M  C_  dom  N )  ->  ( N  |` 
dom  M )  Fn 
dom  M )
118, 9, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  |`  dom  M
)  Fn  dom  M
)
121oicl 7244 . . . . . 6  |-  Ord  dom  M
13 ordelon 4416 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  dom  M  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  e.  On )
1412, 13mpan 651 . . . . 5  |-  ( w  e.  dom  M  ->  w  e.  On )
15 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  dom  M  <->  y  e.  dom  M ) )
16 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( M `  w )  =  ( M `  y ) )
17 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( N `  w )  =  ( N `  y ) )
1816, 17eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( M `  w
)  =  ( N `
 w )  <->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
1915, 18imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) )  <->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) ) )
2019imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y
)  =  ( N `
 y ) ) ) ) )
21 r19.21v 2630 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) ) )
2212a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Ord  dom  M )
23 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  dom  M  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_  dom  M )
2422, 23sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_ 
dom  M )
2524sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  dom  M
)
26 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  dom  M  -> 
( ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  y  e.  w )  ->  ( ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
2827ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  ->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
294adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  M  Fn  dom  M )
30 fnssres 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  Fn  dom  M  /\  w  C_  dom  M
)  ->  ( M  |`  w )  Fn  w
)
3129, 24, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M  |`  w )  Fn  w )
328adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  N  Fn  dom  N )
339adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  dom  M 
C_  dom  N )
3424, 33sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_ 
dom  N )
35 fnssres 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  Fn  dom  N  /\  w  C_  dom  N
)  ->  ( N  |`  w )  Fn  w
)
3632, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( N  |`  w )  Fn  w )
37 eqfnfv 5622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  |`  w
)  Fn  w  /\  ( N  |`  w )  Fn  w )  -> 
( ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( ( M  |`  w
) `  y )  =  ( ( N  |`  w ) `  y
) ) )
3831, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( ( M  |`  w ) `  y )  =  ( ( N  |`  w
) `  y )
) )
39 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( M  |`  w
) `  y )  =  ( M `  y ) )
40 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( N  |`  w
) `  y )  =  ( N `  y ) )
4139, 40eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  w  ->  (
( ( M  |`  w ) `  y
)  =  ( ( N  |`  w ) `  y )  <->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
4241ralbiia 2575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  w  (
( M  |`  w
) `  y )  =  ( ( N  |`  w ) `  y
)  <->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )
4338, 42syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
44 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
45 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  A  e.  _V )
47 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  ph )
48 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
4947, 48sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
50 fpwwe2lem9.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  X W R )
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  X W R )
52 fpwwe2lem9.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  Y W S )
5352ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  Y W S )
54 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  w  e.  dom  M )
559sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  e.  dom  N )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  w  e.  dom  N )
57 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w ) )
5844, 46, 49, 51, 53, 1, 5, 54, 56, 57fpwwe2lem7 8258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  (
y S ( N `
 w )  /\  ( z R ( M `  w )  ->  ( y R z  <->  y S z ) ) ) )
5958simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  y S ( N `  w ) )
6057eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( N  |`  w
)  =  ( M  |`  w ) )
6144, 46, 49, 53, 51, 5, 1, 56, 54, 60fpwwe2lem7 8258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y S
( N `  w
) )  ->  (
y R ( M `
 w )  /\  ( z S ( N `  w )  ->  ( y S z  <->  y R z ) ) ) )
6261simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y S
( N `  w
) )  ->  y R ( M `  w ) )
6359, 62impbida 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( y R ( M `  w )  <-> 
y S ( N `
 w ) ) )
64 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M `
 w )  e. 
_V
65 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
6665eliniseg 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  y R
( M `  w
) ) )
6764, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <-> 
y R ( M `
 w ) )
68 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N `
 w )  e. 
_V
6965eliniseg 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N `  w )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } )  <->  y S
( N `  w
) ) )
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } )  <-> 
y S ( N `
 w ) )
7163, 67, 703bitr4g 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) )
7271eqrdv 2281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( `' R " { ( M `  w ) } )  =  ( `' S " { ( N `  w ) } ) )
73 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
74 relxp 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Rel  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
75 relss 4775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  -> 
( Rel  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  ->  Rel  ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
7673, 74, 75mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Rel  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )
77 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
78 relss 4775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  -> 
( Rel  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  ->  Rel  ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
7977, 74, 78mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Rel  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )
80 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  z  e. 
_V
8180eliniseg 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  z R
( M `  w
) ) )
8266, 81anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  <->  ( y R ( M `  w
)  /\  z R
( M `  w
) ) ) )
8364, 82ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  <->  ( y R ( M `  w
)  /\  z R
( M `  w
) ) )
8458simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  (
z R ( M `
 w )  -> 
( y R z  <-> 
y S z ) ) )
8584impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( y R ( M `  w )  /\  z R ( M `  w ) ) )  ->  ( y R z  <->  y S z ) )
8683, 85sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  ->  ( y R z  <->  y S z ) )
8786pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) ) )
88 brinxp2 4751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y R z ) )
89 df-br 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  <. y ,  z >.  e.  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
90 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y R z )  <->  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z ) )
9188, 89, 903bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z ) )
92 brinxp2 4751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y S z ) )
93 df-br 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  <. y ,  z >.  e.  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
94 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y S z )  <->  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) )
9592, 93, 943bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) )
9687, 91, 953bitr4g 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( <. y ,  z
>.  e.  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  <. y ,  z >.  e.  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
9776, 79, 96eqrelrdv 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
9872, 72xpeq12d 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  =  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) )
9998ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )
10097, 99eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )
10172, 100oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) ) )
1022ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  e.  X )
103102adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  e.  X )
104103adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M `  w
)  e.  X )
10544, 45, 50fpwwe2lem3 8255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( M `  w )  e.  X
)  ->  ( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( M `
 w ) )
10647, 104, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( M `  w
) )
1076ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  dom  N  -> 
( N `  w
)  e.  Y )
10855, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( N `  w )  e.  Y )
109108adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( N `  w
)  e.  Y )
11044, 45, 52fpwwe2lem3 8255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( N `  w )  e.  Y
)  ->  ( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )  =  ( N `
 w ) )
11147, 109, 110syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )  =  ( N `  w
) )
112101, 106, 1113eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) )
113112ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
11443, 113sylbird 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
11528, 114syld 40 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
116115ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
117116com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  (
w  e.  dom  M  ->  ( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
118117a2i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  ->  A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )  ->  ( ph  ->  ( w  e. 
dom  M  ->  ( M `
 w )  =  ( N `  w
) ) ) )
11921, 118sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) )  -> 
( ph  ->  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
120119a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  On  ->  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )  ->  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) ) )
12120, 120tfis2 4647 . . . . . 6  |-  ( w  e.  On  ->  ( ph  ->  ( w  e. 
dom  M  ->  ( M `
 w )  =  ( N `  w
) ) ) )
122121com3l 75 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( w  e.  On  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) ) )
12314, 122mpdi 38 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
124123imp 418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) )
125 fvres 5542 . . . 4  |-  ( w  e.  dom  M  -> 
( ( N  |`  dom  M ) `  w
)  =  ( N `
 w ) )
126125adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( N  |`  dom  M
) `  w )  =  ( N `  w ) )
127124, 126eqtr4d 2318 . 2  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  =  ( ( N  |`  dom  M ) `  w ) )
1284, 11, 127eqfnfvd 5625 1  |-  ( ph  ->  M  =  ( N  |`  dom  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076    We wwe 4351   Ord word 4391   Oncon0 4392    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692   Rel wrel 4694    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  OrdIsocoi 7224
This theorem is referenced by:  fpwwe2lem9  8260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-riota 6304  df-recs 6388  df-oi 7225
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