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Theorem fpwwe2lem9 8515
 Description: Lemma for fpwwe2 8520. Given two well-orders and of parts of , one is an initial segment of the other. (The hypothesis is in order to break the symmetry of and .) (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1
fpwwe2.2
fpwwe2.3
fpwwe2lem9.x
fpwwe2lem9.y
fpwwe2lem9.m OrdIso
fpwwe2lem9.n OrdIso
fpwwe2lem9.s
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem9
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fpwwe2lem9
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.x . . . . . . . . 9
2 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . 11
32relopabi 5002 . . . . . . . . . 10
43brrelexi 4920 . . . . . . . . 9
51, 4syl 16 . . . . . . . 8
6 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . 12
72, 6fpwwe2lem2 8509 . . . . . . . . . . 11
81, 7mpbid 203 . . . . . . . . . 10
98simprd 451 . . . . . . . . 9
109simpld 447 . . . . . . . 8
11 fpwwe2lem9.m . . . . . . . . 9 OrdIso
1211oiiso 7508 . . . . . . . 8
135, 10, 12syl2anc 644 . . . . . . 7
14 isof1o 6047 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
16 f1ofo 5683 . . . . . 6
17 forn 5658 . . . . . 6
1815, 16, 173syl 19 . . . . 5
19 fpwwe2.3 . . . . . . 7
20 fpwwe2lem9.y . . . . . . 7
21 fpwwe2lem9.n . . . . . . 7 OrdIso
22 fpwwe2lem9.s . . . . . . 7
232, 6, 19, 1, 20, 11, 21, 22fpwwe2lem8 8514 . . . . . 6
2423rneqd 5099 . . . . 5
2518, 24eqtr3d 2472 . . . 4
26 df-ima 4893 . . . 4
2725, 26syl6eqr 2488 . . 3
28 imassrn 5218 . . . 4
293brrelexi 4920 . . . . . . . 8
3020, 29syl 16 . . . . . . 7
312, 6fpwwe2lem2 8509 . . . . . . . . . 10
3220, 31mpbid 203 . . . . . . . . 9
3332simprd 451 . . . . . . . 8
3433simpld 447 . . . . . . 7
3521oiiso 7508 . . . . . . 7
3630, 34, 35syl2anc 644 . . . . . 6
37 isof1o 6047 . . . . . 6
3836, 37syl 16 . . . . 5
39 f1ofo 5683 . . . . 5
40 forn 5658 . . . . 5
4138, 39, 403syl 19 . . . 4
4228, 41syl5sseq 3398 . . 3
4327, 42eqsstrd 3384 . 2
448simpld 447 . . . . . 6
4544simprd 451 . . . . 5
46 relxp 4985 . . . . 5
47 relss 4965 . . . . 5
4845, 46, 47ee10 1386 . . . 4
49 inss2 3564 . . . . 5
50 relxp 4985 . . . . 5
51 relss 4965 . . . . 5
5249, 50, 51mp2 9 . . . 4
5348, 52jctir 526 . . 3
5445ssbrd 4255 . . . . . . 7
55 brxp 4911 . . . . . . 7
5654, 55syl6ib 219 . . . . . 6
57 brinxp2 4941 . . . . . . . 8
58 df-3an 939 . . . . . . . 8
5957, 58bitri 242 . . . . . . 7
60 simprll 740 . . . . . . . . . . 11
61 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14
62 isocnv 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6336, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
6543adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 66sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 isorel 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15
6964, 60, 67, 68syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14
7061, 69mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13
71 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . 14
7271epelc 4498 . . . . . . . . . . . . 13
7370, 72sylib 190 . . . . . . . . . . . 12
7423adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574cnveqd 5050 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 isof1o 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77 f1ofn 5677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7864, 76, 773syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 fnfun 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 funcnvres 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8178, 79, 803syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8275, 81eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14
8427adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8566, 84eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 fvres 5747 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8883, 87eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13
89 isocnv 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9013, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 isof1o 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 f1of 5676 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9390, 91, 923syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
9594, 66ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . . 13
9688, 95eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12
9711oicl 7500 . . . . . . . . . . . . 13
98 ordtr1 4626 . . . . . . . . . . . . 13
9997, 98ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
10073, 96, 99syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
101 elpreima 5852 . . . . . . . . . . . 12
10278, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11
10360, 100, 102mpbir2and 890 . . . . . . . . . 10
104 imacnvcnv 5336 . . . . . . . . . . 11
10584, 104syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10
106103, 105eleqtrrd 2515 . . . . . . . . 9
107106, 66jca 520 . . . . . . . 8
108107ex 425 . . . . . . 7
10959, 108syl5bi 210 . . . . . 6
11023adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
111110cnveqd 5050 . . . . . . . . . . 11
112111fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10
113111fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10
114112, 113breq12d 4227 . . . . . . . . 9
115 isorel 6048 . . . . . . . . . 10
11690, 115sylan 459 . . . . . . . . 9
117 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . 13
118 isores3 6057 . . . . . . . . . . . . 13
11936, 22, 117, 118syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12
120 isocnv 6052 . . . . . . . . . . . 12
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11
122121adantr 453 . . . . . . . . . 10
123 simprl 734 . . . . . . . . . . 11
12427adantr 453 . . . . . . . . . . 11
125123, 124eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10
126 simprr 735 . . . . . . . . . . 11
127126, 124eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10
128 isorel 6048 . . . . . . . . . 10
129122, 125, 127, 128syl12anc 1183 . . . . . . . . 9
130114, 116, 1293bitr4d 278 . . . . . . . 8
13143sselda 3350 . . . . . . . . . . . 12
132131adantrr 699 . . . . . . . . . . 11
133132, 126jca 520 . . . . . . . . . 10
134133biantrurd 496 . . . . . . . . 9
135134, 59syl6bbr 256 . . . . . . . 8
136130, 135bitrd 246 . . . . . . 7
137136ex 425 . . . . . 6
13856, 109, 137pm5.21ndd 345 . . . . 5
139 df-br 4215 . . . . 5
140 df-br 4215 . . . . 5
141138, 139, 1403bitr3g 280 . . . 4
142141eqrelrdv2 4977 . . 3
14353, 142mpancom 652 . 2
14443, 143jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958  wsbc 3163   cin 3321   wss 3322  csn 3816  cop 3819   class class class wbr 4214  copab 4267   cep 4494   wwe 4542   word 4582   cxp 4878  ccnv 4879   cdm 4880   crn 4881   cres 4882  cima 4883   wrel 4885   wfun 5450   wfn 5451  wf 5452  wfo 5454  wf1o 5455  cfv 5456   wiso 5457  (class class class)co 6083  OrdIsocoi 7480 This theorem is referenced by:  fpwwe2lem10  8516 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-riota 6551  df-recs 6635  df-oi 7481
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