MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fr0g Structured version   Unicode version

Theorem fr0g 6695
Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
fr0g  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )

Proof of Theorem fr0g
StepHypRef Expression
1 peano1 4866 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 fvres 5747 . . 3  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  =  ( rec ( F ,  A
) `  (/) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  ( rec ( F ,  A ) `  (/) )
4 rdg0g 6687 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rec ( F ,  A
) `  (/) )  =  A )
53, 4syl5eq 2482 1  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   omcom 4847    |` cres 4882   ` cfv 5456   reccrdg 6669
This theorem is referenced by:  unblem2  7362  dffi3  7438  inf0  7578  inf3lemb  7582  trcl  7666  alephfplem1  7987  infpssrlem1  8185  fin23lem34  8228  ituni0  8300  hsmexlem7  8305  axdclem2  8402  wunex2  8615  wuncval2  8624  peano5nni  10005  1nn  10013  om2uz0i  11289  om2uzrdg  11298  uzrdg0i  11301  trpredlem1  25507  trpredpred  25508  trpredmintr  25511  trpred0  25516  trpredrec  25518  neibastop2lem  26391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670
  Copyright terms: Public domain W3C validator