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Theorem fresaun 5614
Description: The union of two functions which agree on their common domain is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fresaun  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )

Proof of Theorem fresaun
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  F : A --> C )
2 inss1 3561 . . . 4  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
3 fssres 5610 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  A )  -> 
( F  |`  ( A  i^i  B ) ) : ( A  i^i  B ) --> C )
41, 2, 3sylancl 644 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) : ( A  i^i  B ) --> C )
5 difss 3474 . . . . 5  |-  ( A 
\  B )  C_  A
6 fssres 5610 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> C  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( F  |`  ( A  \  B ) ) : ( A  \  B ) --> C )
71, 5, 6sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  \  B ) ) : ( A  \  B
) --> C )
8 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  G : B --> C )
9 difss 3474 . . . . 5  |-  ( B 
\  A )  C_  B
10 fssres 5610 . . . . 5  |-  ( ( G : B --> C  /\  ( B  \  A ) 
C_  B )  -> 
( G  |`  ( B  \  A ) ) : ( B  \  A ) --> C )
118, 9, 10sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( G  |`  ( B  \  A ) ) : ( B  \  A
) --> C )
12 indifdir 3597 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  B )  i^i  ( B  \  A ) )  =  ( ( A  i^i  ( B  \  A ) )  \  ( B  i^i  ( B  \  A ) ) )
13 disjdif 3700 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
1413difeq1i 3461 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( B 
\  A ) ) 
\  ( B  i^i  ( B  \  A ) ) )  =  (
(/)  \  ( B  i^i  ( B  \  A
) ) )
15 0dif 3699 . . . . . 6  |-  ( (/)  \  ( B  i^i  ( B  \  A ) ) )  =  (/)
1612, 14, 153eqtri 2460 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( A  \  B
)  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )
18 fun2 5608 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) ) : ( A 
\  B ) --> C  /\  ( G  |`  ( B  \  A ) ) : ( B 
\  A ) --> C )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) : ( ( A  \  B )  u.  ( B  \  A ) ) --> C )
197, 11, 17, 18syl21anc 1183 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) : ( ( A  \  B
)  u.  ( B 
\  A ) ) --> C )
20 indi 3587 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  ( ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B
) )  u.  (
( A  i^i  B
)  i^i  ( B  \  A ) ) )
21 inass 3551 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  ( A  i^i  ( B  i^i  ( A  \  B ) ) )
22 disjdif 3700 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
2322ineq2i 3539 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( B  i^i  ( A  \  B ) ) )  =  ( A  i^i  (/) )
24 in0 3653 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
2521, 23, 243eqtri 2460 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
26 incom 3533 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
2726ineq1i 3538 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( B  \  A ) )  =  ( ( B  i^i  A )  i^i  ( B 
\  A ) )
28 inass 3551 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  A )  i^i  ( B  \  A ) )  =  ( B  i^i  ( A  i^i  ( B  \  A ) ) )
2913ineq2i 3539 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( A  i^i  ( B  \  A ) ) )  =  ( B  i^i  (/) )
30 in0 3653 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  (/) )  =  (/)
3128, 29, 303eqtri 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  A )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
3227, 31eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
3325, 32uneq12i 3499 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  ( A  \  B ) )  u.  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( B 
\  A ) ) )  =  ( (/)  u.  (/) )
34 un0 3652 . . . . 5  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
3520, 33, 343eqtri 2460 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  (/)
3635a1i 11 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  ( ( A  \  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  (/) )
37 fun2 5608 . . 3  |-  ( ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) : ( A  i^i  B ) --> C  /\  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) : ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) --> C )  /\  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \  B )  u.  ( B  \  A ) ) )  =  (/) )  -> 
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( A  \  B )  u.  ( B  \  A ) ) ) --> C )
384, 19, 36, 37syl21anc 1183 . 2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) ) --> C )
39 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( F : A --> C  ->  F  Fn  A )
40 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( G : B --> C  ->  G  Fn  B )
41 id 20 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B
) ) )
42 resasplit 5613 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
4339, 40, 41, 42syl3an 1226 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
4443feq1d 5580 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
) : ( A  u.  B ) --> C  <-> 
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
45 un12 3505 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  ( ( A  \  B )  u.  (
( A  i^i  B
)  u.  ( B 
\  A ) ) )
4626uneq1i 3497 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B 
\  A ) )
47 inundif 3706 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
4846, 47eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
4948uneq2i 3498 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  u.  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  ( ( A  \  B )  u.  B
)
50 undif1 3703 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  u.  B )  =  ( A  u.  B
)
5145, 49, 503eqtri 2460 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) )  =  ( A  u.  B
)
5251feq2i 5586 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  B )  u.  ( B  \  A
) ) ) --> C  <-> 
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( A  u.  B ) --> C )
5344, 52syl6rbbr 256 . 2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) : ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( A  \  B )  u.  ( B  \  A ) ) ) --> C  <->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
5438, 53mpbid 202 1  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628    |` cres 4880    Fn wfn 5449   -->wf 5450
This theorem is referenced by:  cvmliftlem10  24981  elmapresaun  26829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458
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