Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fresaun Structured version   Unicode version

Theorem fresaun 5614
 Description: The union of two functions which agree on their common domain is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fresaun

Proof of Theorem fresaun
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4
2 inss1 3561 . . . 4
3 fssres 5610 . . . 4
41, 2, 3sylancl 644 . . 3
5 difss 3474 . . . . 5
6 fssres 5610 . . . . 5
71, 5, 6sylancl 644 . . . 4
8 simp2 958 . . . . 5
9 difss 3474 . . . . 5
10 fssres 5610 . . . . 5
118, 9, 10sylancl 644 . . . 4
12 indifdir 3597 . . . . . 6
13 disjdif 3700 . . . . . . 7
1413difeq1i 3461 . . . . . 6
15 0dif 3699 . . . . . 6
1612, 14, 153eqtri 2460 . . . . 5
1716a1i 11 . . . 4
18 fun2 5608 . . . 4
197, 11, 17, 18syl21anc 1183 . . 3
20 indi 3587 . . . . 5
21 inass 3551 . . . . . . 7
22 disjdif 3700 . . . . . . . 8
2322ineq2i 3539 . . . . . . 7
24 in0 3653 . . . . . . 7
2521, 23, 243eqtri 2460 . . . . . 6
26 incom 3533 . . . . . . . 8
2726ineq1i 3538 . . . . . . 7
28 inass 3551 . . . . . . . 8
2913ineq2i 3539 . . . . . . . 8
30 in0 3653 . . . . . . . 8
3128, 29, 303eqtri 2460 . . . . . . 7
3227, 31eqtri 2456 . . . . . 6
3325, 32uneq12i 3499 . . . . 5
34 un0 3652 . . . . 5
3520, 33, 343eqtri 2460 . . . 4
3635a1i 11 . . 3
37 fun2 5608 . . 3
384, 19, 36, 37syl21anc 1183 . 2
39 ffn 5591 . . . . 5
40 ffn 5591 . . . . 5
41 id 20 . . . . 5
42 resasplit 5613 . . . . 5
4339, 40, 41, 42syl3an 1226 . . . 4
4443feq1d 5580 . . 3
45 un12 3505 . . . . 5
4626uneq1i 3497 . . . . . . 7
47 inundif 3706 . . . . . . 7
4846, 47eqtri 2456 . . . . . 6
4948uneq2i 3498 . . . . 5
50 undif1 3703 . . . . 5
5145, 49, 503eqtri 2460 . . . 4
5251feq2i 5586 . . 3
5344, 52syl6rbbr 256 . 2
5438, 53mpbid 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 936   wceq 1652   cdif 3317   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628   cres 4880   wfn 5449  wf 5450 This theorem is referenced by:  cvmliftlem10  24981  elmapresaun  26829 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458
 Copyright terms: Public domain W3C validator