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Theorem fresaunres2 5557
Description: From the union of two functions that agree on the domain overlap, either component can be recovered by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fresaunres2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
)  |`  B )  =  G )

Proof of Theorem fresaunres2
StepHypRef Expression
1 ffn 5533 . . . 4  |-  ( F : A --> C  ->  F  Fn  A )
2 ffn 5533 . . . 4  |-  ( G : B --> C  ->  G  Fn  B )
3 id 20 . . . 4  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B
) ) )
4 resasplit 5555 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1226 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
65reseq1d 5087 . 2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
)  |`  B )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  |`  B ) )
7 resundir 5103 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  |`  B )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  u.  (
( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) )  |`  B ) )
8 inss2 3507 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
9 resabs2 5118 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  B  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  =  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  =  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )
11 resundir 5103 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  |`  B )  =  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) )
1210, 11uneq12i 3444 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  u.  (
( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) )  |`  B ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) ) )
13 dmres 5109 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )
14 dmres 5109 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  ( A  \  B ) )  =  ( ( A  \  B )  i^i  dom  F )
1514ineq2i 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  dom  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  =  ( B  i^i  (
( A  \  B
)  i^i  dom  F ) )
16 disjdif 3645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
1716ineq1i 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  ( A 
\  B ) )  i^i  dom  F )  =  ( (/)  i^i  dom  F )
18 inass 3496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  ( A 
\  B ) )  i^i  dom  F )  =  ( B  i^i  ( ( A  \  B )  i^i  dom  F ) )
19 inss1 3506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i 
dom  F )  C_  (/)
20 0ss 3601 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  ( (/) 
i^i  dom  F )
2119, 20eqssi 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  i^i 
dom  F )  =  (/)
2217, 18, 213eqtr3i 2417 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  ( ( A 
\  B )  i^i 
dom  F ) )  =  (/)
2315, 22eqtri 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  dom  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  =  (/)
2413, 23eqtri 2409 . . . . . . . 8  |-  dom  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/)
25 relres 5116 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )
26 reldm0 5029 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  ->  ( ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  |`  B )  =  (/)  <->  dom  ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  |`  B )  =  (/) ) )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/)  <->  dom  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/) )
2824, 27mpbir 201 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  =  (/)
29 difss 3419 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  A )  C_  B
30 resabs2 5118 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B )  =  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B )  =  ( G  |`  ( B  \  A ) )
3228, 31uneq12i 3444 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) )  =  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
3332uneq2i 3443 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  |`  B )  u.  ( ( G  |`  ( B  \  A
) )  |`  B ) ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )
34 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )
3534uneq1d 3445 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
36 uncom 3436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( B  \  A ) )  u.  (/) )
37 un0 3597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  |`  ( B  \  A ) )  u.  (/) )  =  ( G  |`  ( B  \  A ) )
3836, 37eqtri 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  ( G  |`  ( B  \  A
) )
3938uneq2i 3443 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
40 resundi 5102 . . . . . . . . 9  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
41 incom 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
4241uneq1i 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B 
\  A ) )
43 inundif 3651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
4442, 43eqtri 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
4544reseq2i 5085 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  ( G  |`  B )
46 fnresdm 5496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  B  ->  ( G  |`  B )  =  G )
472, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : B --> C  -> 
( G  |`  B )  =  G )
4847adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( G  |`  B )  =  G )
4945, 48syl5eq 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  G )
5040, 49syl5eqr 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( ( G  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  G )
5139, 50syl5eq 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C )  ->  ( ( G  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( (/) 
u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  G )
52513adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  G )
5335, 52eqtrd 2421 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( (/)  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  G )
5433, 53syl5eq 2433 . . . 4  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  |`  B )  u.  (
( G  |`  ( B  \  A ) )  |`  B ) ) )  =  G )
5512, 54syl5eq 2433 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  |`  B )  u.  ( ( ( F  |`  ( A  \  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  |`  B ) )  =  G )
567, 55syl5eq 2433 . 2  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  |`  B )  =  G )
576, 56eqtrd 2421 1  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  u.  G
)  |`  B )  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    \ cdif 3262    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   dom cdm 4820    |` cres 4822   Rel wrel 4825    Fn wfn 5391   -->wf 5392
This theorem is referenced by:  fresaunres1  5558  mapunen  7214  ptuncnv  17762  cvmliftlem10  24762  elmapresaunres2  26523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-br 4156  df-opab 4210  df-xp 4826  df-rel 4827  df-dm 4830  df-res 4832  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400
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