MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frfnom Structured version   Unicode version

Theorem frfnom 6721
Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfnom  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om

Proof of Theorem frfnom
StepHypRef Expression
1 rdgfun 6703 . . 3  |-  Fun  rec ( F ,  A )
2 funres 5521 . . 3  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  ->  Fun  ( rec ( F ,  A )  |`  om )
)
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )
4 dmres 5196 . . 3  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A
) )
5 rdgdmlim 6704 . . . . 5  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
6 limomss 4879 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
8 df-ss 3320 . . . 4  |-  ( om  C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  ( om  i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om )
97, 8mpbi 201 . . 3  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( F ,  A ) )  =  om
104, 9eqtri 2462 . 2  |-  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  =  om
11 df-fn 5486 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om )  Fn  om  <->  ( Fun  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  /\  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  om )  =  om ) )
123, 10, 11mpbir2an 888 1  |-  ( rec ( F ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    i^i cin 3305    C_ wss 3306   Lim wlim 4611   omcom 4874   dom cdm 4907    |` cres 4909   Fun wfun 5477    Fn wfn 5478   reccrdg 6696
This theorem is referenced by:  frsucmptn  6725  seqomlem2  6737  seqomlem3  6738  seqomlem4  6739  unblem4  7391  dffi3  7465  inf0  7605  inf3lem6  7617  alephfplem4  8019  alephfp  8020  infpssrlem3  8216  itunifn  8328  hsmexlem5  8341  axdclem2  8431  wunex2  8644  wuncval2  8653  peano5nni  10034  1nn  10042  peano2nn  10043  om2uzrani  11323  om2uzf1oi  11324  uzrdglem  11328  uzrdgfni  11329  uzrdg0i  11330  hashkf  11651  hashgval2  11683  dftrpred2  25528  trpredpred  25537  trpredex  25546  neibastop2lem  26427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-recs 6662  df-rdg 6697
  Copyright terms: Public domain W3C validator