Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgp0 Structured version   Unicode version

Theorem frgp0 15394
 Description: The free group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m freeGrp
frgp0.r ~FG
Assertion
Ref Expression
frgp0

Proof of Theorem frgp0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgp0.m . . 3 freeGrp
2 eqid 2438 . . 3 freeMnd freeMnd
3 frgp0.r . . 3 ~FG
41, 2, 3frgpval 15392 . 2 freeMnd s
5 2on 6734 . . . . 5
6 xpexg 4991 . . . . 5
75, 6mpan2 654 . . . 4
8 eqid 2438 . . . . 5 freeMnd freeMnd
92, 8frmdbas 14799 . . . 4 freeMnd Word
107, 9syl 16 . . 3 freeMnd Word
1110eqcomd 2443 . 2 Word freeMnd
12 eqidd 2439 . 2 freeMnd freeMnd
13 eqid 2438 . . . 4 Word Word
1413, 3efger 15352 . . 3 Word
15 wrdexg 11741 . . . . 5 Word
16 fvi 5785 . . . . 5 Word Word Word
177, 15, 163syl 19 . . . 4 Word Word
18 ereq2 6915 . . . 4 Word Word Word Word
1917, 18syl 16 . . 3 Word Word
2014, 19mpbii 204 . 2 Word
21 fvex 5744 . . 3 freeMnd
2221a1i 11 . 2 freeMnd
23 eqid 2438 . . . 4 freeMnd freeMnd
241, 2, 3, 23frgpcpbl 15393 . . 3 freeMnd freeMnd
2524a1i 11 . 2 freeMnd freeMnd
262frmdmnd 14806 . . . . . 6 freeMnd
277, 26syl 16 . . . . 5 freeMnd
28273ad2ant1 979 . . . 4 Word Word freeMnd
29 simp2 959 . . . . 5 Word Word Word
30113ad2ant1 979 . . . . 5 Word Word Word freeMnd
3129, 30eleqtrd 2514 . . . 4 Word Word freeMnd
32 simp3 960 . . . . 5 Word Word Word
3332, 30eleqtrd 2514 . . . 4 Word Word freeMnd
348, 23mndcl 14697 . . . 4 freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
3528, 31, 33, 34syl3anc 1185 . . 3 Word Word freeMnd freeMnd
3635, 30eleqtrrd 2515 . 2 Word Word freeMnd Word
3720adantr 453 . . . 4 Word Word Word Word
3827adantr 453 . . . . . 6 Word Word Word freeMnd
39353adant3r3 1165 . . . . . 6 Word Word Word freeMnd freeMnd
40 simpr3 966 . . . . . . 7 Word Word Word Word
4111adantr 453 . . . . . . 7 Word Word Word Word freeMnd
4240, 41eleqtrd 2514 . . . . . 6 Word Word Word freeMnd
438, 23mndcl 14697 . . . . . 6 freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
4438, 39, 42, 43syl3anc 1185 . . . . 5 Word Word Word freeMnd freeMnd freeMnd
4544, 41eleqtrrd 2515 . . . 4 Word Word Word freeMnd freeMnd Word
4637, 45erref 6927 . . 3 Word Word Word freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
47313adant3r3 1165 . . . 4 Word Word Word freeMnd
48333adant3r3 1165 . . . 4 Word Word Word freeMnd
498, 23mndass 14698 . . . 4 freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
5038, 47, 48, 42, 49syl13anc 1187 . . 3 Word Word Word freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
5146, 50breqtrd 4238 . 2 Word Word Word freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
52 wrd0 11734 . . 3 Word
5352a1i 11 . 2 Word
5452, 11syl5eleq 2524 . . . . . 6 freeMnd
5554adantr 453 . . . . 5 Word freeMnd
5611eleq2d 2505 . . . . . 6 Word freeMnd
5756biimpa 472 . . . . 5 Word freeMnd
582, 8, 23frmdadd 14802 . . . . 5 freeMnd freeMnd freeMnd concat
5955, 57, 58syl2anc 644 . . . 4 Word freeMnd concat
60 ccatlid 11750 . . . . 5 Word concat
6160adantl 454 . . . 4 Word concat
6259, 61eqtrd 2470 . . 3 Word freeMnd
6320adantr 453 . . . 4 Word Word
64 simpr 449 . . . 4 Word Word
6563, 64erref 6927 . . 3 Word
6662, 65eqbrtrd 4234 . 2 Word freeMnd
67 revcl 11795 . . . 4 Word reverse Word
6867adantl 454 . . 3 Word reverse Word
69 eqid 2438 . . . . 5
7069efgmf 15347 . . . 4
7170a1i 11 . . 3 Word
72 wrdco 11802 . . 3 reverse Word reverse Word
7368, 71, 72syl2anc 644 . 2 Word reverse Word
7411adantr 453 . . . . 5 Word Word freeMnd
7573, 74eleqtrd 2514 . . . 4 Word reverse freeMnd
762, 8, 23frmdadd 14802 . . . 4 reverse freeMnd freeMnd reverse freeMnd reverse concat
7775, 57, 76syl2anc 644 . . 3 Word reverse freeMnd reverse concat
7817eleq2d 2505 . . . . 5 Word Word
7978biimpar 473 . . . 4 Word Word
80 eqid 2438 . . . . 5 Word splice Word splice
8113, 3, 69, 80efginvrel1 15362 . . . 4 Word reverse concat
8279, 81syl 16 . . 3 Word reverse concat
8377, 82eqbrtrd 4234 . 2 Word reverse freeMnd
844, 11, 12, 20, 22, 25, 36, 51, 53, 66, 73, 83divsgrp2 14938 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cdif 3319  c0 3630  cop 3819  cotp 3820   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cid 4495  con0 4583   cxp 4878   ccom 4884  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  c1o 6719  c2o 6720   wer 6904  cec 6905  cc0 8992  cfz 11045  chash 11620  Word cword 11719   concat cconcat 11720   splice csplice 11723  reversecreverse 11724  cs2 11807  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725  cmnd 14686  cgrp 14687  freeMndcfrmd 14794   ~FG cefg 15340  freeGrpcfrgp 15341 This theorem is referenced by:  frgpgrp  15396  frgpinv  15398  frgpmhm  15399 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-substr 11728  df-splice 11729  df-reverse 11730  df-s2 11814  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-0g 13729  df-imas 13736  df-divs 13737  df-mnd 14692  df-frmd 14796  df-grp 14814  df-efg 15343  df-frgp 15344
 Copyright terms: Public domain W3C validator