Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpadd Structured version   Unicode version

 Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Proof of Theorem frgpadd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3
2 simpr 448 . . 3
3 frgpadd.w . . . . . . . 8 Word
43efgrcl 15347 . . . . . . 7 Word
54adantr 452 . . . . . 6 Word
65simpld 446 . . . . 5
7 frgpadd.g . . . . . 6 freeGrp
8 eqid 2436 . . . . . 6 freeMnd freeMnd
9 frgpadd.r . . . . . 6 ~FG
107, 8, 9frgpval 15390 . . . . 5 freeMnd s
116, 10syl 16 . . . 4 freeMnd s
125simprd 450 . . . . 5 Word
13 2on 6732 . . . . . . 7
14 xpexg 4989 . . . . . . 7
156, 13, 14sylancl 644 . . . . . 6
16 eqid 2436 . . . . . . 7 freeMnd freeMnd
178, 16frmdbas 14797 . . . . . 6 freeMnd Word
1815, 17syl 16 . . . . 5 freeMnd Word
1912, 18eqtr4d 2471 . . . 4 freeMnd
203, 9efger 15350 . . . . 5
2120a1i 11 . . . 4
228frmdmnd 14804 . . . . 5 freeMnd
2315, 22syl 16 . . . 4 freeMnd
24 eqid 2436 . . . . . 6 freeMnd freeMnd
257, 8, 9, 24frgpcpbl 15391 . . . . 5 freeMnd freeMnd
2625a1i 11 . . . 4 freeMnd freeMnd
2723adantr 452 . . . . . 6 freeMnd
28 simprl 733 . . . . . . 7
2919adantr 452 . . . . . . 7 freeMnd
3028, 29eleqtrd 2512 . . . . . 6 freeMnd
31 simprr 734 . . . . . . 7
3231, 29eleqtrd 2512 . . . . . 6 freeMnd
3316, 24mndcl 14695 . . . . . 6 freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
3427, 30, 32, 33syl3anc 1184 . . . . 5 freeMnd freeMnd
3534, 29eleqtrrd 2513 . . . 4 freeMnd
36 frgpadd.n . . . 4
3711, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36divsaddval 13778 . . 3 freeMnd
381, 2, 37mpd3an23 1281 . 2 freeMnd
391, 19eleqtrd 2512 . . . 4 freeMnd
402, 19eleqtrd 2512 . . . 4 freeMnd
418, 16, 24frmdadd 14800 . . . 4 freeMnd freeMnd freeMnd concat
4239, 40, 41syl2anc 643 . . 3 freeMnd concat
43 eceq1 6941 . . 3 freeMnd concat freeMnd concat
4442, 43syl 16 . 2 freeMnd concat
4538, 44eqtrd 2468 1 concat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   class class class wbr 4212   cid 4493  con0 4581   cxp 4876  cfv 5454  (class class class)co 6081  c2o 6718   wer 6902  cec 6903  Word cword 11717   concat cconcat 11718  cbs 13469   cplusg 13529   s cqus 13731  cmnd 14684  freeMndcfrmd 14792   ~FG cefg 15338  freeGrpcfrgp 15339 This theorem is referenced by:  frgpinv  15396  frgpmhm  15397  frgpup1  15407  frgpnabllem1  15484 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-ot 3824  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-concat 11724  df-s1 11725  df-substr 11726  df-splice 11727  df-s2 11812  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-frmd 14794  df-efg 15341  df-frgp 15342
 Copyright terms: Public domain W3C validator