Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpcpbl Structured version   Unicode version

Theorem frgpcpbl 15391
 Description: Compatibility of the group operation with the free group equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpval.m freeGrp
frgpval.b freeMnd
frgpval.r ~FG
frgpcpbl.p
Assertion
Ref Expression
frgpcpbl

Proof of Theorem frgpcpbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3 Word Word
2 frgpval.r . . 3 ~FG
3 eqid 2436 . . 3
4 eqid 2436 . . 3 Word splice Word splice
5 eqid 2436 . . 3 Word Word Word splice Word Word Word splice
6 eqid 2436 . . 3 Word Word Word Word Word splice ..^ Word splice Word Word Word Word Word splice ..^ Word splice
71, 2, 3, 4, 5, 6efgcpbl2 15389 . 2 concat concat
81, 2efger 15350 . . . . . 6 Word
98a1i 11 . . . . 5 Word
10 simpl 444 . . . . 5
119, 10ercl 6916 . . . 4 Word
121efgrcl 15347 . . . . . . 7 Word Word Word
1311, 12syl 16 . . . . . 6 Word Word
1413simprd 450 . . . . 5 Word Word
1513simpld 446 . . . . . . 7
16 2on 6732 . . . . . . 7
17 xpexg 4989 . . . . . . 7
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . 6
19 frgpval.b . . . . . . 7 freeMnd
20 eqid 2436 . . . . . . 7
2119, 20frmdbas 14797 . . . . . 6 Word
2218, 21syl 16 . . . . 5 Word
2314, 22eqtr4d 2471 . . . 4 Word
2411, 23eleqtrd 2512 . . 3
25 simpr 448 . . . . 5
269, 25ercl 6916 . . . 4 Word
2726, 23eleqtrd 2512 . . 3
28 frgpcpbl.p . . . 4
2919, 20, 28frmdadd 14800 . . 3 concat
3024, 27, 29syl2anc 643 . 2 concat
319, 10ercl2 6918 . . . 4 Word
3231, 23eleqtrd 2512 . . 3
339, 25ercl2 6918 . . . 4 Word
3433, 23eleqtrd 2512 . . 3
3519, 20, 28frmdadd 14800 . . 3 concat
3632, 34, 35syl2anc 643 . 2 concat
377, 30, 363brtr4d 4242 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317  c0 3628  csn 3814  cop 3817  cotp 3818  ciun 4093   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cid 4493  con0 4581   cxp 4876   crn 4879  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1o 6717  c2o 6718   wer 6902  cc0 8990  c1 8991   cmin 9291  cfz 11043  ..^cfzo 11135  chash 11618  Word cword 11717   concat cconcat 11718   splice csplice 11721  cs2 11805  cbs 13469   cplusg 13529  freeMndcfrmd 14792   ~FG cefg 15338  freeGrpcfrgp 15339 This theorem is referenced by:  frgp0  15392  frgpadd  15395 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-ot 3824  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-concat 11724  df-s1 11725  df-substr 11726  df-splice 11727  df-s2 11812  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-frmd 14794  df-efg 15341
 Copyright terms: Public domain W3C validator