MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpeccl Unicode version

Theorem frgpeccl 15070
Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m  |-  G  =  (freeGrp `  I )
frgp0.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
frgpeccl.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
frgpeccl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
frgpeccl  |-  ( X  e.  W  ->  [ X ]  .~  e.  B )

Proof of Theorem frgpeccl
StepHypRef Expression
1 frgp0.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
2 fvex 5539 . . . 4  |-  ( ~FG  `  I
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2353 . . 3  |-  .~  e.  _V
43ecelqsi 6715 . 2  |-  ( X  e.  W  ->  [ X ]  .~  e.  ( W /.  .~  ) )
5 frgpeccl.w . . . . . . 7  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
65efgrcl 15024 . . . . . 6  |-  ( X  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
76simpld 445 . . . . 5  |-  ( X  e.  W  ->  I  e.  _V )
8 frgp0.m . . . . . 6  |-  G  =  (freeGrp `  I )
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  =  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )
108, 9, 1frgpval 15067 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  G  =  ( (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  /.s 
.~  ) )
117, 10syl 15 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  G  =  ( (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  /.s 
.~  ) )
126simprd 449 . . . . 5  |-  ( X  e.  W  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
13 2on 6487 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
14 xpexg 4800 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
157, 13, 14sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( X  e.  W  ->  (
I  X.  2o )  e.  _V )
16 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )
179, 16frmdbas 14474 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  ->  ( Base `  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1815, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( X  e.  W  ->  ( Base `  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1912, 18eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  W  =  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) ) )
203a1i 10 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  .~  e.  _V )
21 fvex 5539 . . . . 5  |-  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  e.  _V
2221a1i 10 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) )  e.  _V )
2311, 19, 20, 22divsbas 13447 . . 3  |-  ( X  e.  W  ->  ( W /.  .~  )  =  ( Base `  G
) )
24 frgpeccl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2523, 24syl6eqr 2333 . 2  |-  ( X  e.  W  ->  ( W /.  .~  )  =  B )
264, 25eleqtrd 2359 1  |-  ( X  e.  W  ->  [ X ]  .~  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    _I cid 4304   Oncon0 4392    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   2oc2o 6473   [cec 6658   /.cqs 6659  Word cword 11403   Basecbs 13148    /.s cqus 13408  freeMndcfrmd 14469   ~FG cefg 15015  freeGrpcfrgp 15016
This theorem is referenced by:  frgpinv  15073  frgpmhm  15074  vrgpf  15077  frgpup3lem  15086
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-word 11409  df-s1 11411  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-imas 13411  df-divs 13412  df-frmd 14471  df-frgp 15019
  Copyright terms: Public domain W3C validator