MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpeccl Unicode version

Theorem frgpeccl 15086
Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m  |-  G  =  (freeGrp `  I )
frgp0.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
frgpeccl.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
frgpeccl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
frgpeccl  |-  ( X  e.  W  ->  [ X ]  .~  e.  B )

Proof of Theorem frgpeccl
StepHypRef Expression
1 frgp0.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
2 fvex 5555 . . . 4  |-  ( ~FG  `  I
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2366 . . 3  |-  .~  e.  _V
43ecelqsi 6731 . 2  |-  ( X  e.  W  ->  [ X ]  .~  e.  ( W /.  .~  ) )
5 frgpeccl.w . . . . . . 7  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
65efgrcl 15040 . . . . . 6  |-  ( X  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
76simpld 445 . . . . 5  |-  ( X  e.  W  ->  I  e.  _V )
8 frgp0.m . . . . . 6  |-  G  =  (freeGrp `  I )
9 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  =  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )
108, 9, 1frgpval 15083 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  G  =  ( (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  /.s 
.~  ) )
117, 10syl 15 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  G  =  ( (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  /.s 
.~  ) )
126simprd 449 . . . . 5  |-  ( X  e.  W  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
13 2on 6503 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
14 xpexg 4816 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
157, 13, 14sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( X  e.  W  ->  (
I  X.  2o )  e.  _V )
16 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )
179, 16frmdbas 14490 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  ->  ( Base `  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1815, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( X  e.  W  ->  ( Base `  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1912, 18eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  W  =  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) ) )
203a1i 10 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  .~  e.  _V )
21 fvex 5555 . . . . 5  |-  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  e.  _V
2221a1i 10 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) )  e.  _V )
2311, 19, 20, 22divsbas 13463 . . 3  |-  ( X  e.  W  ->  ( W /.  .~  )  =  ( Base `  G
) )
24 frgpeccl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2523, 24syl6eqr 2346 . 2  |-  ( X  e.  W  ->  ( W /.  .~  )  =  B )
264, 25eleqtrd 2372 1  |-  ( X  e.  W  ->  [ X ]  .~  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    _I cid 4320   Oncon0 4408    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   2oc2o 6489   [cec 6674   /.cqs 6675  Word cword 11419   Basecbs 13164    /.s cqus 13424  freeMndcfrmd 14485   ~FG cefg 15031  freeGrpcfrgp 15032
This theorem is referenced by:  frgpinv  15089  frgpmhm  15090  vrgpf  15093  frgpup3lem  15102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-word 11425  df-s1 11427  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-imas 13427  df-divs 13428  df-frmd 14487  df-frgp 15035
  Copyright terms: Public domain W3C validator