MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpeccl Unicode version

Theorem frgpeccl 15322
Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m  |-  G  =  (freeGrp `  I )
frgp0.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
frgpeccl.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
frgpeccl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
frgpeccl  |-  ( X  e.  W  ->  [ X ]  .~  e.  B )

Proof of Theorem frgpeccl
StepHypRef Expression
1 frgp0.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
2 fvex 5684 . . . 4  |-  ( ~FG  `  I
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2459 . . 3  |-  .~  e.  _V
43ecelqsi 6898 . 2  |-  ( X  e.  W  ->  [ X ]  .~  e.  ( W /.  .~  ) )
5 frgpeccl.w . . . . . . 7  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
65efgrcl 15276 . . . . . 6  |-  ( X  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
76simpld 446 . . . . 5  |-  ( X  e.  W  ->  I  e.  _V )
8 frgp0.m . . . . . 6  |-  G  =  (freeGrp `  I )
9 eqid 2389 . . . . . 6  |-  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  =  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )
108, 9, 1frgpval 15319 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  G  =  ( (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  /.s 
.~  ) )
117, 10syl 16 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  G  =  ( (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  /.s 
.~  ) )
126simprd 450 . . . . 5  |-  ( X  e.  W  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
13 2on 6670 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
14 xpexg 4931 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
157, 13, 14sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( X  e.  W  ->  (
I  X.  2o )  e.  _V )
16 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )
179, 16frmdbas 14726 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  ->  ( Base `  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1815, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( X  e.  W  ->  ( Base `  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1912, 18eqtr4d 2424 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  W  =  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) ) )
203a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  .~  e.  _V )
21 fvex 5684 . . . . 5  |-  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  e.  _V
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  W  ->  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) )  e.  _V )
2311, 19, 20, 22divsbas 13699 . . 3  |-  ( X  e.  W  ->  ( W /.  .~  )  =  ( Base `  G
) )
24 frgpeccl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2523, 24syl6eqr 2439 . 2  |-  ( X  e.  W  ->  ( W /.  .~  )  =  B )
264, 25eleqtrd 2465 1  |-  ( X  e.  W  ->  [ X ]  .~  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901    _I cid 4436   Oncon0 4524    X. cxp 4818   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   2oc2o 6656   [cec 6841   /.cqs 6842  Word cword 11646   Basecbs 13398    /.s cqus 13660  freeMndcfrmd 14721   ~FG cefg 15267  freeGrpcfrgp 15268
This theorem is referenced by:  frgpinv  15325  frgpmhm  15326  vrgpf  15329  frgpup3lem  15338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-ec 6845  df-qs 6849  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-word 11652  df-s1 11654  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-imas 13663  df-divs 13664  df-frmd 14723  df-frgp 15271
  Copyright terms: Public domain W3C validator