Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpinv Structured version   Unicode version

Theorem frgpinv 15434
 Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpinv.n
frgpinv.m
Assertion
Ref Expression
frgpinv reverse
Distinct variable groups:   ,,   , ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem frgpinv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpadd.w . . . . . . . . 9 Word
2 fviss 5820 . . . . . . . . 9 Word Word
31, 2eqsstri 3367 . . . . . . . 8 Word
43sseli 3333 . . . . . . 7 Word
5 revcl 11831 . . . . . . 7 Word reverse Word
64, 5syl 16 . . . . . 6 reverse Word
7 frgpinv.m . . . . . . 7
87efgmf 15383 . . . . . 6
9 wrdco 11838 . . . . . 6 reverse Word reverse Word
106, 8, 9sylancl 645 . . . . 5 reverse Word
111efgrcl 15385 . . . . . 6 Word
1211simprd 451 . . . . 5 Word
1310, 12eleqtrrd 2520 . . . 4 reverse
14 frgpadd.g . . . . 5 freeGrp
15 frgpadd.r . . . . 5 ~FG
16 eqid 2443 . . . . 5
171, 14, 15, 16frgpadd 15433 . . . 4 reverse reverse concat reverse
1813, 17mpdan 651 . . 3 reverse concat reverse
191, 15efger 15388 . . . . 5
2019a1i 11 . . . 4
21 eqid 2443 . . . . 5 splice splice
221, 15, 7, 21efginvrel2 15397 . . . 4 concat reverse
2320, 22erthi 6987 . . 3 concat reverse
2414, 15frgp0 15430 . . . . . 6
2524adantr 453 . . . . 5 Word
2611, 25syl 16 . . . 4
2726simprd 451 . . 3
2818, 23, 273eqtrd 2479 . 2 reverse
2926simpld 447 . . 3
30 eqid 2443 . . . 4
3114, 15, 1, 30frgpeccl 15431 . . 3
3214, 15, 1, 30frgpeccl 15431 . . . 4 reverse reverse
3313, 32syl 16 . . 3 reverse
34 eqid 2443 . . . 4
35 frgpinv.n . . . 4
3630, 16, 34, 35grpinvid1 14891 . . 3 reverse reverse reverse
3729, 31, 33, 36syl3anc 1185 . 2 reverse reverse
3828, 37mpbird 225 1 reverse
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1654   wcel 1728  cvv 2965   cdif 3306  c0 3616  cop 3846  cotp 3847   cmpt 4297   cid 4528   cxp 4911   ccom 4917  wf 5485  cfv 5489  (class class class)co 6117   cmpt2 6119  c1o 6753  c2o 6754   wer 6938  cec 6939  cc0 9028  cfz 11081  chash 11656  Word cword 11755   concat cconcat 11756   splice csplice 11759  reversecreverse 11760  cs2 11843  cbs 13507   cplusg 13567  c0g 13761  cgrp 14723  cminusg 14724   ~FG cefg 15376  freeGrpcfrgp 15377 This theorem is referenced by:  vrgpinv  15439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-ot 3853  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-ec 6943  df-qs 6947  df-map 7056  df-pm 7057  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-hash 11657  df-word 11761  df-concat 11762  df-s1 11763  df-substr 11764  df-splice 11765  df-reverse 11766  df-s2 11850  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-sca 13583  df-vsca 13584  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-0g 13765  df-imas 13772  df-divs 13773  df-mnd 14728  df-frmd 14832  df-grp 14850  df-minusg 14851  df-efg 15379  df-frgp 15380
 Copyright terms: Public domain W3C validator