Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Unicode version

Theorem frgpmhm 15090
 Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m freeMnd
frgpmhm.w
frgpmhm.g freeGrp
frgpmhm.r ~FG
frgpmhm.f
Assertion
Ref Expression
frgpmhm MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 6503 . . . . 5
2 xpexg 4816 . . . . 5
31, 2mpan2 652 . . . 4
4 frgpmhm.m . . . . 5 freeMnd
54frmdmnd 14497 . . . 4
63, 5syl 15 . . 3
7 frgpmhm.g . . . . 5 freeGrp
87frgpgrp 15087 . . . 4
9 grpmnd 14510 . . . 4
108, 9syl 15 . . 3
116, 10jca 518 . 2
12 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10
134, 12frmdbas 14490 . . . . . . . . 9 Word
14 wrdexg 11441 . . . . . . . . . 10 Word
15 fvi 5595 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9 Word Word
1713, 16eqtr4d 2331 . . . . . . . 8 Word
183, 17syl 15 . . . . . . 7 Word
1918eleq2d 2363 . . . . . 6 Word
2019biimpa 470 . . . . 5 Word
21 frgpmhm.r . . . . . 6 ~FG
22 eqid 2296 . . . . . 6 Word Word
23 eqid 2296 . . . . . 6
247, 21, 22, 23frgpeccl 15086 . . . . 5 Word
2520, 24syl 15 . . . 4
26 frgpmhm.f . . . 4
2725, 26fmptd 5700 . . 3
2822, 21efger 15043 . . . . . . . 8 Word
29 ereq2 6684 . . . . . . . . 9 Word Word
3018, 29syl 15 . . . . . . . 8 Word
3128, 30mpbiri 224 . . . . . . 7
3231adantr 451 . . . . . 6
33 fvex 5555 . . . . . . . 8
3412, 33eqeltri 2366 . . . . . . 7
3534a1i 10 . . . . . 6
3632, 35, 26divsfval 13465 . . . . 5 concat concat
37 eqid 2296 . . . . . . . 8
384, 12, 37frmdadd 14493 . . . . . . 7 concat
3938adantl 452 . . . . . 6 concat
4039fveq2d 5545 . . . . 5 concat
4132, 35, 26divsfval 13465 . . . . . . 7
4232, 35, 26divsfval 13465 . . . . . . 7
4341, 42oveq12d 5892 . . . . . 6
4418eleq2d 2363 . . . . . . . . 9 Word
4518eleq2d 2363 . . . . . . . . 9 Word
4644, 45anbi12d 691 . . . . . . . 8 Word Word
4746biimpa 470 . . . . . . 7 Word Word
48 eqid 2296 . . . . . . . 8
4922, 7, 21, 48frgpadd 15088 . . . . . . 7 Word Word concat
5047, 49syl 15 . . . . . 6 concat
5143, 50eqtrd 2328 . . . . 5 concat
5236, 40, 513eqtr4d 2338 . . . 4
5352ralrimivva 2648 . . 3
5434a1i 10 . . . . 5
5531, 54, 26divsfval 13465 . . . 4
567, 21frgp0 15085 . . . . 5
5756simprd 449 . . . 4
5855, 57eqtrd 2328 . . 3
5927, 53, 583jca 1132 . 2
604frmd0 14498 . . 3
61 eqid 2296 . . 3
6212, 23, 37, 48, 60, 61ismhm 14433 . 2 MndHom
6311, 59, 62sylanbrc 645 1 MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801  c0 3468   cmpt 4093   cid 4320  con0 4408   cxp 4703  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  c2o 6489   wer 6673  cec 6674  Word cword 11419   concat cconcat 11420  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416  cmnd 14377  cgrp 14378   MndHom cmhm 14429  freeMndcfrmd 14485   ~FG cefg 15031  freeGrpcfrgp 15032 This theorem is referenced by:  frgpup3lem  15102 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-s1 11427  df-substr 11428  df-splice 11429  df-reverse 11430  df-s2 11514  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-frmd 14487  df-grp 14505  df-efg 15034  df-frgp 15035
 Copyright terms: Public domain W3C validator