MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabl Structured version   Unicode version

Theorem frgpnabl 15488
Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frgpnabl.g  |-  G  =  (freeGrp `  I )
Assertion
Ref Expression
frgpnabl  |-  ( 1o 
~<  I  ->  -.  G  e.  Abel )

Proof of Theorem frgpnabl
Dummy variables  a 
b  x  n  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 7118 . . . . 5  |-  Rel  ~<
21brrelex2i 4921 . . . 4  |-  ( 1o 
~<  I  ->  I  e. 
_V )
3 1sdom 7313 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  I  <->  E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b ) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( 1o 
~<  I  ->  ( 1o 
~<  I  <->  E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b
) )
54ibi 234 . 2  |-  ( 1o 
~<  I  ->  E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b )
6 frgpnabl.g . . . . . 6  |-  G  =  (freeGrp `  I )
7 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
8 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( ~FG  `  I
)  =  ( ~FG  `  I
)
9 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
10 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. )  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \  z )
>. )
11 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) )  =  ( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) )
12 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  \  U_ x  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) ran  (
( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) ) `  x ) )  =  ( (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  \  U_ x  e.  (  _I  ` Word 
( I  X.  2o ) ) ran  (
( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) ) `  x ) )
13 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (varFGrp `  I
)  =  (varFGrp `  I
)
142ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  I  e.  _V )
15 simplrl 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  a  e.  I )
16 simplrr 739 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  b  e.  I )
17 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  G  e.  Abel )
18 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
198, 13, 6, 18vrgpf 15402 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  _V  ->  (varFGrp `  I
) : I --> ( Base `  G ) )
2014, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (varFGrp `  I
) : I --> ( Base `  G ) )
2120, 15ffvelrnd 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (
(varFGrp `  I ) `  a
)  e.  ( Base `  G ) )
2220, 16ffvelrnd 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (
(varFGrp `  I ) `  b
)  e.  ( Base `  G ) )
2318, 9ablcom 15431 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
(varFGrp `  I ) `  a
)  e.  ( Base `  G )  /\  (
(varFGrp `  I ) `  b
)  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( (varFGrp `  I
) `  a )
( +g  `  G ) ( (varFGrp `  I ) `  b
) )  =  ( ( (varFGrp `  I ) `  b
) ( +g  `  G
) ( (varFGrp `  I
) `  a )
) )
2417, 21, 22, 23syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (
( (varFGrp `  I ) `  a
) ( +g  `  G
) ( (varFGrp `  I
) `  b )
)  =  ( ( (varFGrp `  I ) `  b
) ( +g  `  G
) ( (varFGrp `  I
) `  a )
) )
256, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24frgpnabllem2 15487 . . . . 5  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  a  =  b )
2625ex 425 . . . 4  |-  ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  ->  ( G  e.  Abel  ->  a  =  b ) )
2726con3d 128 . . 3  |-  ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  ->  ( -.  a  =  b  ->  -.  G  e.  Abel ) )
2827rexlimdvva 2839 . 2  |-  ( 1o 
~<  I  ->  ( E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b  ->  -.  G  e.  Abel )
)
295, 28mpd 15 1  |-  ( 1o 
~<  I  ->  -.  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   <.cop 3819   <.cotp 3820   U_ciun 4095   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    _I cid 4495    X. cxp 4878   ran crn 4881   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   1oc1o 6719   2oc2o 6720    ~< csdm 7110   0cc0 8992   ...cfz 11045   #chash 11620  Word cword 11719   splice csplice 11723   <"cs2 11807   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   ~FG cefg 15340  freeGrpcfrgp 15341  varFGrpcvrgp 15342   Abelcabel 15415
This theorem is referenced by:  frgpcyg  16856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-substr 11728  df-splice 11729  df-reverse 11730  df-s2 11814  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-0g 13729  df-imas 13736  df-divs 13737  df-mnd 14692  df-frmd 14796  df-grp 14814  df-efg 15343  df-frgp 15344  df-vrgp 15345  df-cmn 15416  df-abl 15417
  Copyright terms: Public domain W3C validator