Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabl Structured version   Unicode version

Theorem frgpnabl 15488
 Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frgpnabl.g freeGrp
Assertion
Ref Expression
frgpnabl

Proof of Theorem frgpnabl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 7118 . . . . 5
21brrelex2i 4921 . . . 4
3 1sdom 7313 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
54ibi 234 . 2
6 frgpnabl.g . . . . . 6 freeGrp
7 eqid 2438 . . . . . 6 Word Word
8 eqid 2438 . . . . . 6 ~FG ~FG
9 eqid 2438 . . . . . 6
10 eqid 2438 . . . . . 6
11 eqid 2438 . . . . . 6 Word splice Word splice
12 eqid 2438 . . . . . 6 Word Word Word splice Word Word Word splice
13 eqid 2438 . . . . . 6 varFGrp varFGrp
142ad2antrr 708 . . . . . 6
15 simplrl 738 . . . . . 6
16 simplrr 739 . . . . . 6
17 simpr 449 . . . . . . 7
18 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
198, 13, 6, 18vrgpf 15402 . . . . . . . . 9 varFGrp
2014, 19syl 16 . . . . . . . 8 varFGrp
2120, 15ffvelrnd 5873 . . . . . . 7 varFGrp
2220, 16ffvelrnd 5873 . . . . . . 7 varFGrp
2318, 9ablcom 15431 . . . . . . 7 varFGrp varFGrp varFGrp varFGrp varFGrp varFGrp
2417, 21, 22, 23syl3anc 1185 . . . . . 6 varFGrp varFGrp varFGrp varFGrp
256, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24frgpnabllem2 15487 . . . . 5
2625ex 425 . . . 4
2726con3d 128 . . 3
2827rexlimdvva 2839 . 2
295, 28mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  cvv 2958   cdif 3319  cop 3819  cotp 3820  ciun 4095   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cid 4495   cxp 4878   crn 4881  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  c1o 6719  c2o 6720   csdm 7110  cc0 8992  cfz 11045  chash 11620  Word cword 11719   splice csplice 11723  cs2 11807  cbs 13471   cplusg 13531   ~FG cefg 15340  freeGrpcfrgp 15341  varFGrpcvrgp 15342  cabel 15415 This theorem is referenced by:  frgpcyg  16856 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-substr 11728  df-splice 11729  df-reverse 11730  df-s2 11814  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-0g 13729  df-imas 13736  df-divs 13737  df-mnd 14692  df-frmd 14796  df-grp 14814  df-efg 15343  df-frgp 15344  df-vrgp 15345  df-cmn 15416  df-abl 15417
 Copyright terms: Public domain W3C validator