MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabl Unicode version

Theorem frgpnabl 15179
Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frgpnabl.g  |-  G  =  (freeGrp `  I )
Assertion
Ref Expression
frgpnabl  |-  ( 1o 
~<  I  ->  -.  G  e.  Abel )

Proof of Theorem frgpnabl
Dummy variables  a 
b  x  n  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 6886 . . . . 5  |-  Rel  ~<
21brrelex2i 4746 . . . 4  |-  ( 1o 
~<  I  ->  I  e. 
_V )
3 1sdom 7081 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  I  <->  E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b ) )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( 1o 
~<  I  ->  ( 1o 
~<  I  <->  E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b
) )
54ibi 232 . 2  |-  ( 1o 
~<  I  ->  E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b )
6 frgpnabl.g . . . . . 6  |-  G  =  (freeGrp `  I )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
8 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( ~FG  `  I
)  =  ( ~FG  `  I
)
9 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
10 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. )  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \  z )
>. )
11 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) )  =  ( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) )
12 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  \  U_ x  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) ran  (
( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) ) `  x ) )  =  ( (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  \  U_ x  e.  (  _I  ` Word 
( I  X.  2o ) ) ran  (
( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) ) `  x ) )
13 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (varFGrp `  I
)  =  (varFGrp `  I
)
142ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  I  e.  _V )
15 simplrl 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  a  e.  I )
16 simplrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  b  e.  I )
17 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  G  e.  Abel )
18 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
198, 13, 6, 18vrgpf 15093 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  _V  ->  (varFGrp `  I
) : I --> ( Base `  G ) )
2014, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (varFGrp `  I
) : I --> ( Base `  G ) )
21 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( (varFGrp `  I ) : I --> ( Base `  G
)  /\  a  e.  I )  ->  (
(varFGrp `  I ) `  a
)  e.  ( Base `  G ) )
2220, 15, 21syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (
(varFGrp `  I ) `  a
)  e.  ( Base `  G ) )
23 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( (varFGrp `  I ) : I --> ( Base `  G
)  /\  b  e.  I )  ->  (
(varFGrp `  I ) `  b
)  e.  ( Base `  G ) )
2420, 16, 23syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (
(varFGrp `  I ) `  b
)  e.  ( Base `  G ) )
2518, 9ablcom 15122 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
(varFGrp `  I ) `  a
)  e.  ( Base `  G )  /\  (
(varFGrp `  I ) `  b
)  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( (varFGrp `  I
) `  a )
( +g  `  G ) ( (varFGrp `  I ) `  b
) )  =  ( ( (varFGrp `  I ) `  b
) ( +g  `  G
) ( (varFGrp `  I
) `  a )
) )
2617, 22, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (
( (varFGrp `  I ) `  a
) ( +g  `  G
) ( (varFGrp `  I
) `  b )
)  =  ( ( (varFGrp `  I ) `  b
) ( +g  `  G
) ( (varFGrp `  I
) `  a )
) )
276, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 26frgpnabllem2 15178 . . . . 5  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  a  =  b )
2827ex 423 . . . 4  |-  ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  ->  ( G  e.  Abel  ->  a  =  b ) )
2928con3d 125 . . 3  |-  ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  ->  ( -.  a  =  b  ->  -.  G  e.  Abel ) )
3029rexlimdvva 2687 . 2  |-  ( 1o 
~<  I  ->  ( E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b  ->  -.  G  e.  Abel )
)
315, 30mpd 14 1  |-  ( 1o 
~<  I  ->  -.  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   <.cop 3656   <.cotp 3657   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320    X. cxp 4703   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1oc1o 6488   2oc2o 6489    ~< csdm 6878   0cc0 8753   ...cfz 10798   #chash 11353  Word cword 11419   splice csplice 11423   <"cs2 11507   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   ~FG cefg 15031  freeGrpcfrgp 15032  varFGrpcvrgp 15033   Abelcabel 15106
This theorem is referenced by:  frgpcyg  16543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-s1 11427  df-substr 11428  df-splice 11429  df-reverse 11430  df-s2 11514  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-frmd 14487  df-grp 14505  df-efg 15034  df-frgp 15035  df-vrgp 15036  df-cmn 15107  df-abl 15108
  Copyright terms: Public domain W3C validator