MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabl Unicode version

Theorem frgpnabl 15163
Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frgpnabl.g  |-  G  =  (freeGrp `  I )
Assertion
Ref Expression
frgpnabl  |-  ( 1o 
~<  I  ->  -.  G  e.  Abel )

Proof of Theorem frgpnabl
Dummy variables  a 
b  x  n  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 6870 . . . . 5  |-  Rel  ~<
21brrelex2i 4730 . . . 4  |-  ( 1o 
~<  I  ->  I  e. 
_V )
3 1sdom 7065 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  I  <->  E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b ) )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( 1o 
~<  I  ->  ( 1o 
~<  I  <->  E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b
) )
54ibi 232 . 2  |-  ( 1o 
~<  I  ->  E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b )
6 frgpnabl.g . . . . . 6  |-  G  =  (freeGrp `  I )
7 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ~FG  `  I
)  =  ( ~FG  `  I
)
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. )  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \  z )
>. )
11 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) )  =  ( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) )
12 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  \  U_ x  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) ran  (
( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) ) `  x ) )  =  ( (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  \  U_ x  e.  (  _I  ` Word 
( I  X.  2o ) ) ran  (
( v  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v
) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ) `  w ) "> >.
) ) ) `  x ) )
13 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (varFGrp `  I
)  =  (varFGrp `  I
)
142ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  I  e.  _V )
15 simplrl 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  a  e.  I )
16 simplrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  b  e.  I )
17 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  G  e.  Abel )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
198, 13, 6, 18vrgpf 15077 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  _V  ->  (varFGrp `  I
) : I --> ( Base `  G ) )
2014, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (varFGrp `  I
) : I --> ( Base `  G ) )
21 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( (varFGrp `  I ) : I --> ( Base `  G
)  /\  a  e.  I )  ->  (
(varFGrp `  I ) `  a
)  e.  ( Base `  G ) )
2220, 15, 21syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (
(varFGrp `  I ) `  a
)  e.  ( Base `  G ) )
23 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( (varFGrp `  I ) : I --> ( Base `  G
)  /\  b  e.  I )  ->  (
(varFGrp `  I ) `  b
)  e.  ( Base `  G ) )
2420, 16, 23syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (
(varFGrp `  I ) `  b
)  e.  ( Base `  G ) )
2518, 9ablcom 15106 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
(varFGrp `  I ) `  a
)  e.  ( Base `  G )  /\  (
(varFGrp `  I ) `  b
)  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( (varFGrp `  I
) `  a )
( +g  `  G ) ( (varFGrp `  I ) `  b
) )  =  ( ( (varFGrp `  I ) `  b
) ( +g  `  G
) ( (varFGrp `  I
) `  a )
) )
2617, 22, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  (
( (varFGrp `  I ) `  a
) ( +g  `  G
) ( (varFGrp `  I
) `  b )
)  =  ( ( (varFGrp `  I ) `  b
) ( +g  `  G
) ( (varFGrp `  I
) `  a )
) )
276, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 26frgpnabllem2 15162 . . . . 5  |-  ( ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  /\  G  e.  Abel )  ->  a  =  b )
2827ex 423 . . . 4  |-  ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  ->  ( G  e.  Abel  ->  a  =  b ) )
2928con3d 125 . . 3  |-  ( ( 1o  ~<  I  /\  ( a  e.  I  /\  b  e.  I
) )  ->  ( -.  a  =  b  ->  -.  G  e.  Abel ) )
3029rexlimdvva 2674 . 2  |-  ( 1o 
~<  I  ->  ( E. a  e.  I  E. b  e.  I  -.  a  =  b  ->  -.  G  e.  Abel )
)
315, 30mpd 14 1  |-  ( 1o 
~<  I  ->  -.  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   <.cop 3643   <.cotp 3644   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ~< csdm 6862   0cc0 8737   ...cfz 10782   #chash 11337  Word cword 11403   splice csplice 11407   <"cs2 11491   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   ~FG cefg 15015  freeGrpcfrgp 15016  varFGrpcvrgp 15017   Abelcabel 15090
This theorem is referenced by:  frgpcyg  16527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-splice 11413  df-reverse 11414  df-s2 11498  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-frmd 14471  df-grp 14489  df-efg 15018  df-frgp 15019  df-vrgp 15020  df-cmn 15091  df-abl 15092
  Copyright terms: Public domain W3C validator