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Theorem frgpnabllem1 15486
 Description: Lemma for frgpnabl 15488. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpnabl.g freeGrp
frgpnabl.w Word
frgpnabl.r ~FG
frgpnabl.p
frgpnabl.m
frgpnabl.t splice
frgpnabl.d
frgpnabl.u varFGrp
frgpnabl.i
frgpnabl.a
frgpnabl.b
Assertion
Ref Expression
frgpnabllem1
Distinct variable groups:   ,   ,,,,,,   ,   , ,,   ,   ,,,,,,   ,   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,,,)   (,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,)   (,,,,)   (,,,,,)   (,,,,)   (,)

Proof of Theorem frgpnabllem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpnabl.a . . . . . . 7
2 0ex 4341 . . . . . . . . 9
32prid1 3914 . . . . . . . 8
4 df2o3 6739 . . . . . . . 8
53, 4eleqtrri 2511 . . . . . . 7
6 opelxpi 4912 . . . . . . 7
71, 5, 6sylancl 645 . . . . . 6
8 frgpnabl.b . . . . . . 7
9 opelxpi 4912 . . . . . . 7
108, 5, 9sylancl 645 . . . . . 6
117, 10s2cld 11835 . . . . 5 Word
12 frgpnabl.w . . . . . 6 Word
13 frgpnabl.i . . . . . . . 8
14 2on 6734 . . . . . . . 8
15 xpexg 4991 . . . . . . . 8
1613, 14, 15sylancl 645 . . . . . . 7
17 wrdexg 11741 . . . . . . 7 Word
18 fvi 5785 . . . . . . 7 Word Word Word
1916, 17, 183syl 19 . . . . . 6 Word Word
2012, 19syl5eq 2482 . . . . 5 Word
2111, 20eleqtrrd 2515 . . . 4
22 1n0 6741 . . . . . . 7
23 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . . 14
2423addid2i 9256 . . . . . . . . . . . . 13
25 s2len 11853 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . 12
27 frgpnabl.r . . . . . . . . . . . . . 14 ~FG
28 frgpnabl.m . . . . . . . . . . . . . 14
29 frgpnabl.t . . . . . . . . . . . . . 14 splice
3012, 27, 28, 29efgtlen 15360 . . . . . . . . . . . . 13
3130adantll 696 . . . . . . . . . . . 12
3226, 31syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11
3332ex 425 . . . . . . . . . 10
34 0cn 9086 . . . . . . . . . . . 12
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11
36 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14
3712efgrcl 15349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
3837simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
3938adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
4036, 39eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . 13 Word
41 lencl 11737 . . . . . . . . . . . . 13 Word
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4342nn0cnd 10278 . . . . . . . . . . 11
4423a1i 11 . . . . . . . . . . 11
4535, 43, 44addcan2d 9272 . . . . . . . . . 10
4633, 45sylibd 207 . . . . . . . . 9
4712, 27, 28, 29efgtf 15356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 splice
4847adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 splice
4948simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 splice
5049rneqd 5099 . . . . . . . . . . . . . . 15 splice
5150eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . 14 splice
52 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 splice splice
53 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 splice
5452, 53elrnmpt2 6185 . . . . . . . . . . . . . . 15 splice splice
55 wrd0 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word
57 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5828efgmf 15347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5958ffvelrni 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6057, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6157, 60s2cld 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word
62 ccatlid 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word concat
6355, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 concat
6463oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 concat concat concat
6564, 63eqtr2i 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 concat concat
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 concat concat
67 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
68 hash0 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6968oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7067, 69syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
71 elfz1eq 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7372, 68syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7468oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7572, 34syl6eqel 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7675addid1d 9268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7774, 76syl5req 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7856, 56, 56, 61, 66, 73, 77splval2 11788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 splice concat concat
79 ccatlid 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word concat
8079oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word concat concat concat
81 ccatrid 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word concat
8280, 81eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word concat concat
8361, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 concat concat
8478, 83eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 splice
8584eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 splice
861ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87 1on 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9089fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
91 opex 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
92 s2fv1 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
94 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
95 s2fv1 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9694, 95ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9790, 93, 963eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9889fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
99 opex 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
100 s2fv0 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10199, 100ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
103 s2fv0 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
104102, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10598, 101, 1043eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106105fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10728efgmval 15346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10886, 5, 107sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
109 df-ov 6086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
110 dif0 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
111110opeq2i 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112108, 109, 1113eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11397, 106, 1123eqtr2rd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114 opthg 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115114simplbda 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11686, 88, 113, 115syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117116ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11885, 117sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 splice
119118rexlimdvva 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 splice
12054, 119syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . 14 splice
12151, 120sylbid 208 . . . . . . . . . . . . 13
122121expimpd 588 . . . . . . . . . . . 12
123 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 hasheq0 11646 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125123, 124ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128127rneqd 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129128eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130126, 129anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15
131125, 130sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . 14
132131eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . 13
133132imbi1d 310 . . . . . . . . . . . 12
134122, 133syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11
135134com23 75 . . . . . . . . . 10
136135expdimp 428 . . . . . . . . 9
13746, 136mpdd 39 . . . . . . . 8
138137necon3ad 2639 . . . . . . 7
13922, 138mpi 17 . . . . . 6
140139nrexdv 2811 . . . . 5
141 eliun 4099 . . . . 5
142140, 141sylnibr 298 . . . 4
14321, 142eldifd 3333 . . 3
144 frgpnabl.d . . 3
145143, 144syl6eleqr 2529 . 2
146 df-s2 11814 . . . . 5 concat
14712, 27efger 15352 . . . . . . 7
148147a1i 11 . . . . . 6
149148, 21erref 6927 . . . . 5
150146, 149syl5eqbrr 4248 . . . 4 concat
151 ovex 6108 . . . . . 6 concat
152146, 151eqeltri 2508 . . . . 5
153152, 151elec 6946 . . . 4 concat concat
154150, 153sylibr 205 . . 3 concat
155 frgpnabl.u . . . . . . 7 varFGrp
15627, 155vrgpval 15401 . . . . . 6
15713, 1, 156syl2anc 644 . . . . 5
15827, 155vrgpval 15401 . . . . . 6
15913, 8, 158syl2anc 644 . . . . 5
160157, 159oveq12d 6101 . . . 4
1617s1cld 11758 . . . . . 6 Word
162161, 20eleqtrrd 2515 . . . . 5
16310s1cld 11758 . . . . . 6 Word
164163, 20eleqtrrd 2515 . . . . 5
165 frgpnabl.g . . . . . 6 freeGrp
166 frgpnabl.p . . . . . 6
16712, 165, 27, 166frgpadd 15397 . . . . 5 concat
168162, 164, 167syl2anc 644 . . . 4 concat
169160, 168eqtrd 2470 . . 3 concat
170154, 169eleqtrrd 2515 . 2
171 elin 3532 . 2
172145, 170, 171sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708  cvv 2958   cdif 3319   cin 3321  c0 3630  cpr 3817  cop 3819  cotp 3820  ciun 4095   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cid 4495  con0 4583   cxp 4878   crn 4881  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  c1o 6719  c2o 6720   wer 6904  cec 6905  cc 8990  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995  c2 10051  cn0 10223  cfz 11045  chash 11620  Word cword 11719   concat cconcat 11720  cs1 11721   splice csplice 11723  cs2 11807   cplusg 13531   ~FG cefg 15340  freeGrpcfrgp 15341  varFGrpcvrgp 15342 This theorem is referenced by:  frgpnabllem2  15487 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-substr 11728  df-splice 11729  df-s2 11814  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-imas 13736  df-divs 13737  df-mnd 14692  df-frmd 14796  df-efg 15343  df-frgp 15344  df-vrgp 15345
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