Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup1 Structured version   Unicode version

Theorem frgpup1 15412
 Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b
frgpup.n
frgpup.t
frgpup.h
frgpup.i
frgpup.a
frgpup.w Word
frgpup.r ~FG
frgpup.g freeGrp
frgpup.x
frgpup.e g
Assertion
Ref Expression
frgpup1
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   ()   (,,)   (,)   ()   ()   (,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem frgpup1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.x . 2
2 frgpup.b . 2
3 eqid 2438 . 2
4 eqid 2438 . 2
5 frgpup.i . . 3
6 frgpup.g . . . 4 freeGrp
76frgpgrp 15399 . . 3
85, 7syl 16 . 2
9 frgpup.h . 2
10 frgpup.n . . 3
11 frgpup.t . . 3
12 frgpup.a . . 3
13 frgpup.w . . 3 Word
14 frgpup.r . . 3 ~FG
15 frgpup.e . . 3 g
162, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupf 15410 . 2
17 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11 freeMnd freeMnd
186, 17, 14frgpval 15395 . . . . . . . . . 10 freeMnd s
195, 18syl 16 . . . . . . . . 9 freeMnd s
20 2on 6735 . . . . . . . . . . . . 13
21 xpexg 4992 . . . . . . . . . . . . 13
225, 20, 21sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12
23 wrdexg 11744 . . . . . . . . . . . 12 Word
24 fvi 5786 . . . . . . . . . . . 12 Word Word Word
2522, 23, 243syl 19 . . . . . . . . . . 11 Word Word
2613, 25syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10 Word
27 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12 freeMnd freeMnd
2817, 27frmdbas 14802 . . . . . . . . . . 11 freeMnd Word
2922, 28syl 16 . . . . . . . . . 10 freeMnd Word
3026, 29eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9 freeMnd
31 fvex 5745 . . . . . . . . . . 11 ~FG
3214, 31eqeltri 2508 . . . . . . . . . 10
3332a1i 11 . . . . . . . . 9
34 fvex 5745 . . . . . . . . . 10 freeMnd
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 freeMnd
3619, 30, 33, 35divsbas 13775 . . . . . . . 8
3736, 1syl6reqr 2489 . . . . . . 7
38 eqimss 3402 . . . . . . 7
3937, 38syl 16 . . . . . 6
4039adantr 453 . . . . 5
4140sselda 3350 . . . 4
42 eqid 2438 . . . . 5
43 oveq2 6092 . . . . . . 7
4443fveq2d 5735 . . . . . 6
45 fveq2 5731 . . . . . . 7
4645oveq2d 6100 . . . . . 6
4744, 46eqeq12d 2452 . . . . 5
4839sselda 3350 . . . . . . . 8
4948adantlr 697 . . . . . . 7
50 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10
5150fveq2d 5735 . . . . . . . . 9
52 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10
5352oveq1d 6099 . . . . . . . . 9
5451, 53eqeq12d 2452 . . . . . . . 8
55 fviss 5787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word
5613, 55eqsstri 3380 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
5756sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
5856sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
59 ccatcl 11748 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word concat Word
6057, 58, 59syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13 concat Word
6113efgrcl 15352 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
6261adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
6362simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13 Word
6460, 63eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . 12 concat
652, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 15411 . . . . . . . . . . . 12 concat concat g concat
6664, 65sylan2 462 . . . . . . . . . . 11 concat g concat
6757ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . 13 Word
6858ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . 13 Word
692, 10, 11, 9, 5, 12frgpuptf 15407 . . . . . . . . . . . . . 14
7069adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
71 ccatco 11809 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word concat concat
7267, 68, 70, 71syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 concat concat
7372oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11 g concat g concat
74 grpmnd 14822 . . . . . . . . . . . . . 14
759, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7675adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
77 wrdco 11805 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word
7857, 69, 77syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . 13 Word
7978adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12 Word
80 wrdco 11805 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word
8168, 70, 80syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 Word
822, 4gsumccat 14792 . . . . . . . . . . . 12 Word Word g concat g g
8376, 79, 81, 82syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 g concat g g
8466, 73, 833eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10 concat g g
8513, 6, 14, 3frgpadd 15400 . . . . . . . . . . . 12 concat
8685adantl 454 . . . . . . . . . . 11 concat
8786fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10 concat
882, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 15411 . . . . . . . . . . . 12 g
8988adantrr 699 . . . . . . . . . . 11 g
902, 10, 11, 9, 5, 12, 13, 14, 6, 1, 15frgpupval 15411 . . . . . . . . . . . 12 g
9190adantrl 698 . . . . . . . . . . 11 g
9289, 91oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10 g g
9384, 87, 923eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9
9493anass1rs 784 . . . . . . . 8
9542, 54, 94ectocld 6974 . . . . . . 7
9649, 95syldan 458 . . . . . 6
9796an32s 781 . . . . 5
9842, 47, 97ectocld 6974 . . . 4
9941, 98syldan 458 . . 3
10099anasss 630 . 2
1011, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 100isghmd 15020 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   wss 3322  c0 3630  cif 3741  cop 3819   cmpt 4269   cid 4496  con0 4584   cxp 4879   crn 4882   ccom 4885  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  c2o 6721  cec 6906  cqs 6907  Word cword 11722   concat cconcat 11723  cbs 13474   cplusg 13534   g cgsu 13729   s cqus 13736  cmnd 14689  cgrp 14690  cminusg 14691  freeMndcfrmd 14797   cghm 15008   ~FG cefg 15343  freeGrpcfrgp 15344 This theorem is referenced by:  frgpup3lem  15414  frgpup3  15415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-word 11728  df-concat 11729  df-s1 11730  df-substr 11731  df-splice 11732  df-reverse 11733  df-s2 11817  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-imas 13739  df-divs 13740  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-frmd 14799  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-ghm 15009  df-efg 15346  df-frgp 15347
 Copyright terms: Public domain W3C validator