Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup2 Structured version   Unicode version

Theorem frgpup2 15409
 Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b
frgpup.n
frgpup.t
frgpup.h
frgpup.i
frgpup.a
frgpup.w Word
frgpup.r ~FG
frgpup.g freeGrp
frgpup.x
frgpup.e g
frgpup.u varFGrp
frgpup.y
Assertion
Ref Expression
frgpup2
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,)   ()   (,,)   (,)   ()   ()   (,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem frgpup2
StepHypRef Expression
1 frgpup.i . . . 4
2 frgpup.y . . . 4
3 frgpup.r . . . . 5 ~FG
4 frgpup.u . . . . 5 varFGrp
53, 4vrgpval 15400 . . . 4
61, 2, 5syl2anc 644 . . 3
76fveq2d 5733 . 2
8 0ex 4340 . . . . . . . 8
98prid1 3913 . . . . . . 7
10 df2o3 6738 . . . . . . 7
119, 10eleqtrri 2510 . . . . . 6
12 opelxpi 4911 . . . . . 6
132, 11, 12sylancl 645 . . . . 5
1413s1cld 11757 . . . 4 Word
15 frgpup.w . . . . 5 Word
16 2on 6733 . . . . . . 7
17 xpexg 4990 . . . . . . 7
181, 16, 17sylancl 645 . . . . . 6
19 wrdexg 11740 . . . . . 6 Word
20 fvi 5784 . . . . . 6 Word Word Word
2118, 19, 203syl 19 . . . . 5 Word Word
2215, 21syl5eq 2481 . . . 4 Word
2314, 22eleqtrrd 2514 . . 3
24 frgpup.b . . . 4
25 frgpup.n . . . 4
26 frgpup.t . . . 4
27 frgpup.h . . . 4
28 frgpup.a . . . 4
29 frgpup.g . . . 4 freeGrp
30 frgpup.x . . . 4
31 frgpup.e . . . 4 g
3224, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31frgpupval 15407 . . 3 g
3323, 32mpdan 651 . 2 g
3424, 25, 26, 27, 1, 28frgpuptf 15403 . . . . . 6
35 s1co 11803 . . . . . 6
3613, 34, 35syl2anc 644 . . . . 5
37 df-ov 6085 . . . . . . 7
38 iftrue 3746 . . . . . . . . . 10
39 fveq2 5729 . . . . . . . . . 10
4038, 39sylan9eqr 2491 . . . . . . . . 9
41 fvex 5743 . . . . . . . . 9
4240, 26, 41ovmpt2a 6205 . . . . . . . 8
432, 11, 42sylancl 645 . . . . . . 7
4437, 43syl5eqr 2483 . . . . . 6
4544s1eqd 11755 . . . . 5
4636, 45eqtrd 2469 . . . 4
4746oveq2d 6098 . . 3 g g
4828, 2ffvelrnd 5872 . . . 4
4924gsumws1 14786 . . . 4 g
5048, 49syl 16 . . 3 g
5147, 50eqtrd 2469 . 2 g
527, 33, 513eqtrd 2473 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2957  c0 3629  cif 3740  cpr 3816  cop 3818   cmpt 4267   cid 4494  con0 4582   cxp 4877   crn 4880   ccom 4883  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082   cmpt2 6084  c1o 6718  c2o 6719  cec 6904  Word cword 11718  cs1 11720  cbs 13470   g cgsu 13725  cgrp 14686  cminusg 14687   ~FG cefg 15339  freeGrpcfrgp 15340  varFGrpcvrgp 15341 This theorem is referenced by:  frgpup3  15411 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-ot 3825  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-ec 6908  df-qs 6912  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-word 11724  df-concat 11725  df-s1 11726  df-substr 11727  df-splice 11728  df-s2 11813  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-imas 13735  df-divs 13736  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-frmd 14795  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-efg 15342  df-frgp 15343  df-vrgp 15344
 Copyright terms: Public domain W3C validator