Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupf Unicode version

Theorem frgpupf 15082
 Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b
frgpup.n
frgpup.t
frgpup.h
frgpup.i
frgpup.a
frgpup.w Word
frgpup.r ~FG
frgpup.g freeGrp
frgpup.x
frgpup.e g
Assertion
Ref Expression
frgpupf
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   ()   (,,)   (,)   ()   ()   (,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem frgpupf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . . . 4 g
2 frgpup.h . . . . . . 7
3 grpmnd 14494 . . . . . . 7
42, 3syl 15 . . . . . 6
54adantr 451 . . . . 5
6 frgpup.w . . . . . . . . 9 Word
7 fviss 5580 . . . . . . . . 9 Word Word
86, 7eqsstri 3208 . . . . . . . 8 Word
98sseli 3176 . . . . . . 7 Word
109adantl 452 . . . . . 6 Word
11 frgpup.b . . . . . . . 8
12 frgpup.n . . . . . . . 8
13 frgpup.t . . . . . . . 8
14 frgpup.i . . . . . . . 8
15 frgpup.a . . . . . . . 8
1611, 12, 13, 2, 14, 15frgpuptf 15079 . . . . . . 7
1716adantr 451 . . . . . 6
18 wrdco 11486 . . . . . 6 Word Word
1910, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5 Word
2011gsumwcl 14463 . . . . 5 Word g
215, 19, 20syl2anc 642 . . . 4 g
22 frgpup.r . . . . . 6 ~FG
236, 22efger 15027 . . . . 5
2423a1i 10 . . . 4
25 fvex 5539 . . . . . 6 Word
266, 25eqeltri 2353 . . . . 5
2726a1i 10 . . . 4
28 coeq2 4842 . . . . 5
2928oveq2d 5874 . . . 4 g g
3011, 12, 13, 2, 14, 15, 6, 22frgpuplem 15081 . . . 4 g g
311, 21, 24, 27, 29, 30qliftfund 6744 . . 3
321, 21, 24, 27qliftf 6746 . . 3
3331, 32mpbid 201 . 2
34 frgpup.g . . . . . . 7 freeGrp
35 eqid 2283 . . . . . . 7 freeMnd freeMnd
3634, 35, 22frgpval 15067 . . . . . 6 freeMnd s
3714, 36syl 15 . . . . 5 freeMnd s
38 2on 6487 . . . . . . . . 9
39 xpexg 4800 . . . . . . . . 9
4014, 38, 39sylancl 643 . . . . . . . 8
41 wrdexg 11425 . . . . . . . 8 Word
42 fvi 5579 . . . . . . . 8 Word Word Word
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . 7 Word Word
446, 43syl5eq 2327 . . . . . 6 Word
45 eqid 2283 . . . . . . . 8 freeMnd freeMnd
4635, 45frmdbas 14474 . . . . . . 7 freeMnd Word
4740, 46syl 15 . . . . . 6 freeMnd Word
4844, 47eqtr4d 2318 . . . . 5 freeMnd
49 fvex 5539 . . . . . . 7 ~FG
5022, 49eqeltri 2353 . . . . . 6
5150a1i 10 . . . . 5
52 fvex 5539 . . . . . 6 freeMnd
5352a1i 10 . . . . 5 freeMnd
5437, 48, 51, 53divsbas 13447 . . . 4
55 frgpup.x . . . 4
5654, 55syl6reqr 2334 . . 3
5756feq2d 5380 . 2
5833, 57mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788  c0 3455  cif 3565  cop 3643   cmpt 4077   cid 4304  con0 4392   cxp 4687   crn 4690   ccom 4693   wfun 5249  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  c2o 6473   wer 6657  cec 6658  cqs 6659  Word cword 11403  cbs 13148   g cgsu 13401   s cqus 13408  cmnd 14361  cgrp 14362  cminusg 14363  freeMndcfrmd 14469   ~FG cefg 15015  freeGrpcfrgp 15016 This theorem is referenced by:  frgpupval  15083  frgpup1  15084 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-splice 11413  df-s2 11498  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-frmd 14471  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-efg 15018  df-frgp 15019
 Copyright terms: Public domain W3C validator