MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupf Structured version   Unicode version

Theorem frgpupf 15397
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
frgpup.n  |-  N  =  ( inv g `  H )
frgpup.t  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
frgpup.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
frgpup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
frgpup.a  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
frgpup.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
frgpup.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
frgpup.g  |-  G  =  (freeGrp `  I )
frgpup.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
frgpup.e  |-  E  =  ran  ( g  e.  W  |->  <. [ g ]  .~  ,  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) ) >. )
Assertion
Ref Expression
frgpupf  |-  ( ph  ->  E : X --> B )
Distinct variable groups:    y, g,
z    g, H    y, F, z    y, N, z    B, g, y, z    T, g    .~ , g    ph, g, y, z    y, I, z   
g, W
Allowed substitution hints:    .~ ( y, z)    T( y, z)    E( y, z, g)    F( g)    G( y, z, g)    H( y, z)    I( g)    N( g)    V( y, z, g)    W( y, z)    X( y, z, g)

Proof of Theorem frgpupf
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . . . 4  |-  E  =  ran  ( g  e.  W  |->  <. [ g ]  .~  ,  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) ) >. )
2 frgpup.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
3 grpmnd 14809 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  Grp  ->  H  e.  Mnd )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  W )  ->  H  e.  Mnd )
6 frgpup.w . . . . . . . 8  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
7 fviss 5776 . . . . . . . 8  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  C_ Word  ( I  X.  2o )
86, 7eqsstri 3370 . . . . . . 7  |-  W  C_ Word  ( I  X.  2o )
98sseli 3336 . . . . . 6  |-  ( g  e.  W  ->  g  e. Word  ( I  X.  2o ) )
10 frgpup.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  H
)
11 frgpup.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( inv g `  H )
12 frgpup.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
13 frgpup.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
14 frgpup.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
1510, 11, 12, 2, 13, 14frgpuptf 15394 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T : ( I  X.  2o ) --> B )
16 wrdco 11792 . . . . . 6  |-  ( ( g  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  T : ( I  X.  2o ) --> B )  -> 
( T  o.  g
)  e. Word  B )
179, 15, 16syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  W )  ->  ( T  o.  g )  e. Word  B )
1810gsumwcl 14778 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  ( T  o.  g
)  e. Word  B )  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  e.  B
)
195, 17, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  W )  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  e.  B
)
20 frgpup.r . . . . . 6  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
216, 20efger 15342 . . . . 5  |-  .~  Er  W
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  .~  Er  W )
23 fvex 5734 . . . . . 6  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  e.  _V
246, 23eqeltri 2505 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
26 coeq2 5023 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( T  o.  g )  =  ( T  o.  h ) )
2726oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  h
) ) )
2810, 11, 12, 2, 13, 14, 6, 20frgpuplem 15396 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  .~  h )  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  h
) ) )
291, 19, 22, 25, 27, 28qliftfund 6982 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  E )
301, 19, 22, 25qliftf 6984 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Fun  E  <->  E :
( W /.  .~  )
--> B ) )
3129, 30mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  E : ( W /.  .~  ) --> B )
32 frgpup.g . . . . . . 7  |-  G  =  (freeGrp `  I )
33 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  =  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )
3432, 33, 20frgpval 15382 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  G  =  ( (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  /.s 
.~  ) )
3513, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( (freeMnd `  ( I  X.  2o ) )  /.s  .~  )
)
36 2on 6724 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  On
37 xpexg 4981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
3813, 36, 37sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I  X.  2o )  e.  _V )
39 wrdexg 11731 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( I  X.  2o )  e. 
_V )
40 fvi 5775 . . . . . . . 8  |-  (Word  (
I  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
4138, 39, 403syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
426, 41syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
43 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )
4433, 43frmdbas 14789 . . . . . . 7  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  ->  ( Base `  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
4538, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
4642, 45eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  =  ( Base `  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) ) ) )
47 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( ~FG  `  I
)  e.  _V
4820, 47eqeltri 2505 . . . . . 6  |-  .~  e.  _V
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
50 fvex 5734 . . . . . 6  |-  (freeMnd `  (
I  X.  2o ) )  e.  _V
5150a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (freeMnd `  ( I  X.  2o ) )  e. 
_V )
5235, 46, 49, 51divsbas 13762 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W /.  .~  )  =  ( Base `  G ) )
53 frgpup.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
5452, 53syl6reqr 2486 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( W /.  .~  ) )
5554feq2d 5573 . 2  |-  ( ph  ->  ( E : X --> B 
<->  E : ( W /.  .~  ) --> B ) )
5631, 55mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  E : X --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   ifcif 3731   <.cop 3809    e. cmpt 4258    _I cid 4485   Oncon0 4573    X. cxp 4868   ran crn 4871    o. ccom 4874   Fun wfun 5440   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   2oc2o 6710    Er wer 6894   [cec 6895   /.cqs 6896  Word cword 11709   Basecbs 13461    gsumg cgsu 13716    /.s cqus 13723   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678  freeMndcfrmd 14784   ~FG cefg 15330  freeGrpcfrgp 15331
This theorem is referenced by:  frgpupval  15398  frgpup1  15399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-word 11715  df-concat 11716  df-s1 11717  df-substr 11718  df-splice 11719  df-s2 11804  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-imas 13726  df-divs 13727  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-frmd 14786  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-efg 15333  df-frgp 15334
  Copyright terms: Public domain W3C validator