MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupval Unicode version

Theorem frgpupval 15132
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
frgpup.n  |-  N  =  ( inv g `  H )
frgpup.t  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
frgpup.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
frgpup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
frgpup.a  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
frgpup.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
frgpup.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
frgpup.g  |-  G  =  (freeGrp `  I )
frgpup.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
frgpup.e  |-  E  =  ran  ( g  e.  W  |->  <. [ g ]  .~  ,  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) ) >. )
Assertion
Ref Expression
frgpupval  |-  ( (
ph  /\  A  e.  W )  ->  ( E `  [ A ]  .~  )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  A
) ) )
Distinct variable groups:    y, g,
z, A    g, H    y, F, z    y, N, z    B, g, y, z    T, g    .~ , g    ph, g,
y, z    y, I,
z    g, W
Allowed substitution hints:    .~ ( y, z)    T( y, z)    E( y, z, g)    F( g)    G( y, z, g)    H( y, z)    I( g)    N( g)    V( y, z, g)    W( y, z)    X( y, z, g)

Proof of Theorem frgpupval
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . 2  |-  E  =  ran  ( g  e.  W  |->  <. [ g ]  .~  ,  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) ) >. )
2 ovex 5925 . . 3  |-  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) )  e.  _V
32a1i 10 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  W )  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  e.  _V )
4 frgpup.w . . . 4  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
5 frgpup.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
64, 5efger 15076 . . 3  |-  .~  Er  W
76a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  .~  Er  W )
8 fvex 5577 . . . 4  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  e.  _V
94, 8eqeltri 2386 . . 3  |-  W  e. 
_V
109a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
11 coeq2 4879 . . 3  |-  ( g  =  A  ->  ( T  o.  g )  =  ( T  o.  A ) )
1211oveq2d 5916 . 2  |-  ( g  =  A  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  A
) ) )
13 frgpup.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  H
)
14 frgpup.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  H )
15 frgpup.t . . . 4  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
16 frgpup.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
17 frgpup.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
18 frgpup.a . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
19 frgpup.g . . . 4  |-  G  =  (freeGrp `  I )
20 frgpup.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
2113, 14, 15, 16, 17, 18, 4, 5, 19, 20, 1frgpupf 15131 . . 3  |-  ( ph  ->  E : X --> B )
22 ffun 5429 . . 3  |-  ( E : X --> B  ->  Fun  E )
2321, 22syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  E )
241, 3, 7, 10, 12, 23qliftval 6790 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  W )  ->  ( E `  [ A ]  .~  )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   (/)c0 3489   ifcif 3599   <.cop 3677    e. cmpt 4114    _I cid 4341    X. cxp 4724   ran crn 4727    o. ccom 4730   Fun wfun 5286   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    e. cmpt2 5902   2oc2o 6515    Er wer 6699   [cec 6700  Word cword 11450   Basecbs 13195    gsumg cgsu 13450   Grpcgrp 14411   inv gcminusg 14412   ~FG cefg 15064  freeGrpcfrgp 15065
This theorem is referenced by:  frgpup1  15133  frgpup2  15134  frgpup3lem  15135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-ot 3684  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-hash 11385  df-word 11456  df-concat 11457  df-s1 11458  df-substr 11459  df-splice 11460  df-s2 11545  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-imas 13460  df-divs 13461  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-frmd 14520  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-efg 15067  df-frgp 15068
  Copyright terms: Public domain W3C validator