MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupval Structured version   Unicode version

Theorem frgpupval 15437
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
frgpup.n  |-  N  =  ( inv g `  H )
frgpup.t  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
frgpup.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
frgpup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
frgpup.a  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
frgpup.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
frgpup.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
frgpup.g  |-  G  =  (freeGrp `  I )
frgpup.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
frgpup.e  |-  E  =  ran  ( g  e.  W  |->  <. [ g ]  .~  ,  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) ) >. )
Assertion
Ref Expression
frgpupval  |-  ( (
ph  /\  A  e.  W )  ->  ( E `  [ A ]  .~  )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  A
) ) )
Distinct variable groups:    y, g,
z, A    g, H    y, F, z    y, N, z    B, g, y, z    T, g    .~ , g    ph, g,
y, z    y, I,
z    g, W
Allowed substitution hints:    .~ ( y, z)    T( y, z)    E( y, z, g)    F( g)    G( y, z, g)    H( y, z)    I( g)    N( g)    V( y, z, g)    W( y, z)    X( y, z, g)

Proof of Theorem frgpupval
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . 2  |-  E  =  ran  ( g  e.  W  |->  <. [ g ]  .~  ,  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) ) >. )
2 ovex 6135 . . 3  |-  ( H 
gsumg  ( T  o.  g
) )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  W )  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  e.  _V )
4 frgpup.w . . . 4  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
5 frgpup.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
64, 5efger 15381 . . 3  |-  .~  Er  W
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  .~  Er  W )
8 fvex 5771 . . . 4  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  e.  _V
94, 8eqeltri 2512 . . 3  |-  W  e. 
_V
109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
11 coeq2 5060 . . 3  |-  ( g  =  A  ->  ( T  o.  g )  =  ( T  o.  A ) )
1211oveq2d 6126 . 2  |-  ( g  =  A  ->  ( H  gsumg  ( T  o.  g
) )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  A
) ) )
13 frgpup.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  H
)
14 frgpup.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  H )
15 frgpup.t . . . 4  |-  T  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  if ( z  =  (/) ,  ( F `  y
) ,  ( N `
 ( F `  y ) ) ) )
16 frgpup.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
17 frgpup.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
18 frgpup.a . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
19 frgpup.g . . . 4  |-  G  =  (freeGrp `  I )
20 frgpup.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
2113, 14, 15, 16, 17, 18, 4, 5, 19, 20, 1frgpupf 15436 . . 3  |-  ( ph  ->  E : X --> B )
22 ffun 5622 . . 3  |-  ( E : X --> B  ->  Fun  E )
2321, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  E )
241, 3, 7, 10, 12, 23qliftval 7022 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  W )  ->  ( E `  [ A ]  .~  )  =  ( H  gsumg  ( T  o.  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962   (/)c0 3613   ifcif 3763   <.cop 3841    e. cmpt 4291    _I cid 4522    X. cxp 4905   ran crn 4908    o. ccom 4911   Fun wfun 5477   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   2oc2o 6747    Er wer 6931   [cec 6932  Word cword 11748   Basecbs 13500    gsumg cgsu 13755   Grpcgrp 14716   inv gcminusg 14717   ~FG cefg 15369  freeGrpcfrgp 15370
This theorem is referenced by:  frgpup1  15438  frgpup2  15439  frgpup3lem  15440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-ot 3848  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-ec 6936  df-qs 6940  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-word 11754  df-concat 11755  df-s1 11756  df-substr 11757  df-splice 11758  df-s2 11843  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-imas 13765  df-divs 13766  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-frmd 14825  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-efg 15372  df-frgp 15373
  Copyright terms: Public domain W3C validator