Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgra3v Unicode version

Theorem frgra3v 27756
Description: Any graph with three vertices which are completely connected with each other is a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
frgra3v  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )

Proof of Theorem frgra3v
Dummy variables  k 
l  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 21239 . . . . . 6  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C }  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
2 isfrgra 27744 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B ,  C } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  /\  A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
43adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B ,  C } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
5 ibar 491 . . . . 5  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
65adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
( { A ,  B ,  C } USGrph  E  /\  A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
74, 6bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
8 sneq 3769 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
98difeq2d 3409 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) )
10 preq2 3828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  { x ,  k }  =  { x ,  A } )
1110preq1d 3833 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  A  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }
)
1211sseq1d 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
1312reubidv 2836 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
149, 13raleqbidv 2860 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
15 sneq 3769 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  B  ->  { k }  =  { B } )
1615difeq2d 3409 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) )
17 preq2 3828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  B  ->  { x ,  k }  =  { x ,  B } )
1817preq1d 3833 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  B  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }
)
1918sseq1d 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  B  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
2019reubidv 2836 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
2116, 20raleqbidv 2860 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
22 sneq 3769 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  C  ->  { k }  =  { C } )
2322difeq2d 3409 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) )
24 preq2 3828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  C  ->  { x ,  k }  =  { x ,  C } )
2524preq1d 3833 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  C  ->  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  C } ,  { x ,  l } }
)
2625sseq1d 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  C  ->  ( { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
2726reubidv 2836 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) )
2823, 27raleqbidv 2860 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
2914, 21, 28raltpg 3803 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
3029adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( A. k  e.  { A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
3130adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
32 tprot 3843 . . . . . . . . . . 11  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A }
3332a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A } )
3433difeq1d 3408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  ( { B ,  C ,  A }  \  { A } ) )
35 necom 2632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
3635biimpi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  B  ->  B  =/=  A )
37 necom 2632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
3837biimpi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  C  ->  C  =/=  A )
3936, 38anim12i 550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( B  =/=  A  /\  C  =/=  A
) )
40393adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  =/=  A  /\  C  =/=  A ) )
41 diftpsn3 3881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  =/=  A  /\  C  =/=  A )  -> 
( { B ,  C ,  A }  \  { A } )  =  { B ,  C } )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { B ,  C ,  A }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
4334, 42eqtrd 2420 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  =  { B ,  C }
)
4443raleqdv 2854 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  { B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
45 tprot 3843 . . . . . . . . . . . 12  |-  { C ,  A ,  B }  =  { A ,  B ,  C }
4645eqcomi 2392 . . . . . . . . . . 11  |-  { A ,  B ,  C }  =  { C ,  A ,  B }
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  { A ,  B ,  C }  =  { C ,  A ,  B } )
4847difeq1d 3408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  ( { C ,  A ,  B }  \  { B } ) )
49 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  B  ->  A  =/=  B )
50 necom 2632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =/=  C  <->  C  =/=  B )
5150biimpi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =/=  C  ->  C  =/=  B )
5249, 51anim12ci 551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( C  =/=  B  /\  A  =/=  B
) )
53523adant2 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( C  =/=  B  /\  A  =/=  B ) )
54 diftpsn3 3881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  =/=  B  /\  A  =/=  B )  -> 
( { C ,  A ,  B }  \  { B } )  =  { C ,  A } )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { C ,  A ,  B }  \  { B } )  =  { C ,  A }
)
5648, 55eqtrd 2420 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  =  { C ,  A }
)
5756raleqdv 2854 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
58 diftpsn3 3881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B } )
59583adant1 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
6059raleqdv 2854 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <->  A. l  e.  { A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E ) )
6144, 57, 603anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  (
( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
6261adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  (
( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
6362adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E ) ) )
64 preq2 3828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  B  ->  { x ,  l }  =  { x ,  B } )
6564preq2d 3834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  B  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  B } } )
6665sseq1d 3319 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  B  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
6766reubidv 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
68 preq2 3828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  C  ->  { x ,  l }  =  { x ,  C } )
6968preq2d 3834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  C  ->  { {
x ,  A } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  A } ,  { x ,  C } } )
7069sseq1d 3319 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  C  ->  ( { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
7170reubidv 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  C  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
7267, 71ralprg 3801 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E
) ) )
73723adant1 975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E
) ) )
7468preq2d 3834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  C  ->  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  C } } )
7574sseq1d 3319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  C  ->  ( { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
7675reubidv 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  C  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
77 preq2 3828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  A  ->  { x ,  l }  =  { x ,  A } )
7877preq2d 3834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  A  ->  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  B } ,  { x ,  A } } )
7978sseq1d 3319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  A  ->  ( { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
8079reubidv 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
8176, 80ralprg 3801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X )  ->  ( A. l  e. 
{ C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) ) )
8281ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. l  e. 
{ C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) ) )
83823adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. l  e. 
{ C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
) ) )
8477preq2d 3834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  A  ->  { {
x ,  C } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  C } ,  { x ,  A } } )
8584sseq1d 3319 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  A  ->  ( { { x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  C } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
8685reubidv 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  A  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
8764preq2d 3834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  B  ->  { {
x ,  C } ,  { x ,  l } }  =  { { x ,  C } ,  { x ,  B } } )
8887sseq1d 3319 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  B  ->  ( { { x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
8988reubidv 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  B  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  l } }  C_ 
ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
9086, 89ralprg 3801 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) ) )
91903adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  <->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) ) )
9273, 83, 913anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( ( A. l  e.  { B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) ) ) )
9392adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  (
( A. l  e. 
{ B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) ) ) )
9493adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( A. l  e.  { B ,  C } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e.  { C ,  A } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  /\  A. l  e. 
{ A ,  B } E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  l } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) ) ) )
9531, 63, 943bitrd 271 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. k  e. 
{ A ,  B ,  C } A. l  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { k } ) E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  k } ,  { x ,  l } }  C_  ran  E  <-> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E )  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) ) ) )
96 frgra3vlem2 27755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) ) )
9796imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
98 3ancomb 945 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y )
)
99 3ancoma 943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( A  =/=  C  /\  A  =/= 
B  /\  B  =/=  C ) )
100 biid 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  C  <->  A  =/=  C )
101 biid 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  B  <->  A  =/=  B )
102100, 101, 503anbi123i 1142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  <->  ( A  =/=  C  /\  A  =/= 
B  /\  C  =/=  B ) )
10399, 102bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( A  =/=  C  /\  A  =/= 
B  /\  C  =/=  B ) )
10498, 103anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  <->  ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y )  /\  ( A  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  C  =/=  B
) ) )
105 tpcomb 3845 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B ,  C }  =  { A ,  C ,  B }
106105breq1i 4161 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { A ,  C ,  B } USGrph  E )
107 reueq1 2850 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  { A ,  C ,  B }  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  C ,  B }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
108105, 107mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y )  /\  ( A  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  C  =/= 
B ) )  /\  { A ,  C ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { A ,  C ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E ) )
109 frgra3vlem2 27755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y
)  /\  ( A  =/=  C  /\  A  =/= 
B  /\  C  =/=  B ) )  ->  ( { A ,  C ,  B } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { A ,  C ,  B }  { { x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
110109imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y )  /\  ( A  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  C  =/= 
B ) )  /\  { A ,  C ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  C ,  B }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
111108, 110bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  C  e.  Z  /\  B  e.  Y )  /\  ( A  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  C  =/= 
B ) )  /\  { A ,  C ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
112104, 106, 111syl2anb 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) )
11397, 112anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
114 3anrot 941 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  <->  ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X )
)
115 3anrot 941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  <->  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )
116 biid 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  C  <->  B  =/=  C )
117116, 35, 373anbi123i 1142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =/=  C  /\  A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  <->  ( B  =/=  C  /\  B  =/= 
A  /\  C  =/=  A ) )
118115, 117bitr3i 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( B  =/=  C  /\  B  =/= 
A  /\  C  =/=  A ) )
119114, 118anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  <->  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  A  /\  C  =/=  A
) ) )
12032breq1i 4161 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { B ,  C ,  A } USGrph  E )
121 reueq1 2850 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  { B ,  C ,  A }  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { B ,  C ,  A }  { { x ,  B } ,  {
x ,  C } }  C_  ran  E ) )
12232, 121mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  A  /\  C  =/= 
A ) )  /\  { B ,  C ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { B ,  C ,  A }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E ) )
123 frgra3vlem2 27755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/= 
A  /\  C  =/=  A ) )  ->  ( { B ,  C ,  A } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { B ,  C ,  A }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) ) )
124123imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  A  /\  C  =/= 
A ) )  /\  { B ,  C ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ B ,  C ,  A }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) )
125122, 124bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z  /\  A  e.  X )  /\  ( B  =/=  C  /\  B  =/=  A  /\  C  =/= 
A ) )  /\  { B ,  C ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) )
126119, 120, 125syl2anb 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) )
127 3ancoma 943 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  <->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )
)
128 3ancomb 945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C  /\  A  =/=  C ) )
12935, 116, 1003anbi123i 1142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C  /\  A  =/=  C )  <->  ( B  =/=  A  /\  B  =/= 
C  /\  A  =/=  C ) )
130128, 129bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( B  =/=  A  /\  B  =/= 
C  /\  A  =/=  C ) )
131127, 130anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  <->  ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )  /\  ( B  =/=  A  /\  B  =/=  C  /\  A  =/=  C
) ) )
132 tpcoma 3844 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  A ,  C }
133132breq1i 4161 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
134 reueq1 2850 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  { B ,  A ,  C }  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { B ,  A ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
135132, 134mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )  /\  ( B  =/=  A  /\  B  =/=  C  /\  A  =/= 
C ) )  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { B ,  A ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E ) )
136 frgra3vlem2 27755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z
)  /\  ( B  =/=  A  /\  B  =/= 
C  /\  A  =/=  C ) )  ->  ( { B ,  A ,  C } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { B ,  A ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
137136imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )  /\  ( B  =/=  A  /\  B  =/=  C  /\  A  =/= 
C ) )  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ B ,  A ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
138135, 137bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )  /\  ( B  =/=  A  /\  B  =/=  C  /\  A  =/= 
C ) )  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
139131, 133, 138syl2anb 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
140126, 139anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
141 3anrot 941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y )  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )
)
142141biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
143 3anrot 941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( A  =/=  C  /\  B  =/= 
C  /\  A  =/=  B ) )
14437, 50, 1013anbi123i 1142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C  /\  A  =/=  B )  <->  ( C  =/=  A  /\  C  =/= 
B  /\  A  =/=  B ) )
145143, 144bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  <->  ( C  =/=  A  /\  C  =/= 
B  /\  A  =/=  B ) )
146145biimpi 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( C  =/=  A  /\  C  =/=  B  /\  A  =/= 
B ) )
147142, 146anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  (
( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( C  =/=  A  /\  C  =/= 
B  /\  A  =/=  B ) ) )
14846breq1i 4161 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { C ,  A ,  B } USGrph  E )
149148biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  { C ,  A ,  B } USGrph  E )
150 reueq1 2850 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  { C ,  A ,  B }  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { C ,  A ,  B }  { { x ,  C } ,  {
x ,  A } }  C_  ran  E ) )
15146, 150mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( C  =/=  A  /\  C  =/=  B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { C ,  A ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { C ,  A ,  B }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E ) )
152 frgra3vlem2 27755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( C  =/=  A  /\  C  =/= 
B  /\  A  =/=  B ) )  ->  ( { C ,  A ,  B } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { C ,  A ,  B }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
153152imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( C  =/=  A  /\  C  =/=  B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { C ,  A ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ C ,  A ,  B }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
154151, 153bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( C  =/=  A  /\  C  =/=  B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { C ,  A ,  B } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
155147, 149, 154syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  <->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
156 3anrev 947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  <->  ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X )
)
157156biimpi 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
15850, 37, 353anbi123i 1142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  =/=  C  /\  A  =/=  C  /\  A  =/=  B )  <->  ( C  =/=  B  /\  C  =/= 
A  /\  B  =/=  A ) )
159158biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =/=  C  /\  A  =/=  C  /\  A  =/=  B )  ->  ( C  =/=  B  /\  C  =/=  A  /\  B  =/= 
A ) )
1601593com13 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( C  =/=  B  /\  C  =/=  A  /\  B  =/= 
A ) )
161157, 160anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  (
( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X
)  /\  ( C  =/=  B  /\  C  =/= 
A  /\  B  =/=  A ) ) )
162 tpcoma 3844 . . . . . . . . . 10  |-  { B ,  C ,  A }  =  { C ,  B ,  A }
16332, 162eqtri 2408 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  B ,  C }  =  { C ,  B ,  A }
164163breq1i 4161 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { C ,  B ,  A } USGrph  E )
165164biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  { C ,  B ,  A } USGrph  E )
166 reueq1 2850 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B ,  C }  =  { C ,  B ,  A }  ->  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { C ,  B ,  A }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E ) )
167163, 166mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  ( C  =/=  B  /\  C  =/=  A  /\  B  =/= 
A ) )  /\  { C ,  B ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  E! x  e.  { C ,  B ,  A }  { { x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E ) )
168 frgra3vlem2 27755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X
)  /\  ( C  =/=  B  /\  C  =/= 
A  /\  B  =/=  A ) )  ->  ( { C ,  B ,  A } USGrph  E  ->  ( E! x  e.  { C ,  B ,  A }  { { x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) ) )
169168imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  ( C  =/=  B  /\  C  =/=  A  /\  B  =/= 
A ) )  /\  { C ,  B ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ C ,  B ,  A }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )
170167, 169bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  Z  /\  B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  ( C  =/=  B  /\  C  =/=  A  /\  B  =/= 
A ) )  /\  { C ,  B ,  A } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )
171161, 165, 170syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E! x  e. 
{ A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )
172155, 171anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  {
x ,  B } }  C_  ran  E )  <-> 
( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) ) )
173113, 140, 1723anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E
)  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
)  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) )  <->  ( (
( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) ) ) )
174 prcom 3826 . . . . . . . . . . 11  |-  { B ,  C }  =  { C ,  B }
175174eleq1i 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( { B ,  C }  e.  ran  E  <->  { C ,  B }  e.  ran  E )
176175anbi2i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) )
177176anbi2i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
178 anandir 803 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) ) )
179177, 178bitr4i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) )
180 prcom 3826 . . . . . . . . . . 11  |-  { C ,  A }  =  { A ,  C }
181180eleq1i 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E )
182181anbi2i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
183182anbi2i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) )
184 anandir 803 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) ) )
185183, 184bitr4i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
186 prcom 3826 . . . . . . . . . . 11  |-  { A ,  B }  =  { B ,  A }
187186eleq1i 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  A }  e.  ran  E )
188187anbi2i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) )
189188anbi2i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
190 anandir 803 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
191189, 190bitr4i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) )
192179, 185, 1913anbi123i 1142 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) ) )
193 df-3an 938 . . . . . . . 8  |-  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E ) )
194 3anrot 941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
195 prcom 3826 . . . . . . . . . . 11  |-  { B ,  A }  =  { A ,  B }
196195eleq1i 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( { B ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  B }  e.  ran  E )
197 prcom 3826 . . . . . . . . . . 11  |-  { C ,  B }  =  { B ,  C }
198197eleq1i 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( { C ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E )
199 biid 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  <->  { C ,  A }  e.  ran  E )
200196, 198, 1993anbi123i 1142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
201194, 200bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
202193, 201bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
203 df-3an 938 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
204 biid 228 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  <->  { A ,  B }  e.  ran  E )
205 prcom 3826 . . . . . . . . . 10  |-  { A ,  C }  =  { C ,  A }
206205eleq1i 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  C }  e.  ran  E  <->  { C ,  A }  e.  ran  E )
207204, 198, 2063anbi123i 1142 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
208203, 207bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
209 df-3an 938 . . . . . . . 8  |-  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) )
210 3anrot 941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )
211 3anrot 941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
212 biid 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( { B ,  C }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E )
213196, 212, 2063anbi123i 1142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
214210, 211, 2133bitri 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
215209, 214bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
216202, 208, 2153anbi123i 1142 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
217 df-3an 938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
218 anabs1 784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
219 anidm 626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
220217, 218, 2193bitri 263 . . . . . 6  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
221192, 216, 2203bitri 263 . . . . 5  |-  ( ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )
222221a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( ( ( { C ,  A }  e.  ran  E  /\  { C ,  B }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  A }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { A ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( { C ,  B }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  /\  ( ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
223173, 222bitrd 245 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  A } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  A } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E
)  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  B } ,  { x ,  C } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  B } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E
)  /\  ( E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { { x ,  C } ,  { x ,  A } }  C_  ran  E  /\  E! x  e.  { A ,  B ,  C }  { {
x ,  C } ,  { x ,  B } }  C_  ran  E
) )  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
2247, 95, 2233bitrd 271 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C ) )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
225224ex 424 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E!wreu 2652   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    C_ wss 3264   {csn 3758   {cpr 3759   {ctp 3760   class class class wbr 4154   ran crn 4820   USGrph cusg 21233   FriendGrph cfrgra 27742
This theorem is referenced by:  3vfriswmgra  27759
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-hash 11547  df-usgra 21235  df-frgra 27743
  Copyright terms: Public domain W3C validator