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Theorem frgranbnb 28347
 Description: If two neighbors of a specific vertex have a common neighbor in a friendship graph, then this common neighbor must be the specific vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgranbnb.x
frgranbnb.nx Neighbors
frgranbnb.f FriendGrph
Assertion
Ref Expression
frgranbnb

Proof of Theorem frgranbnb
StepHypRef Expression
1 frgranbnb.f . . . 4 FriendGrph
2 frisusgra 28319 . . . 4 FriendGrph USGrph
31, 2syl 16 . . 3 USGrph
4 frgranbnb.nx . . . . . . . . . 10 Neighbors
54eleq2i 2499 . . . . . . . . 9 Neighbors
6 nbgraeledg 21434 . . . . . . . . . 10 USGrph Neighbors
76biimpd 199 . . . . . . . . 9 USGrph Neighbors
85, 7syl5bi 209 . . . . . . . 8 USGrph
94eleq2i 2499 . . . . . . . . 9 Neighbors
10 nbgraeledg 21434 . . . . . . . . . 10 USGrph Neighbors
1110biimpd 199 . . . . . . . . 9 USGrph Neighbors
129, 11syl5bi 209 . . . . . . . 8 USGrph
138, 12anim12d 547 . . . . . . 7 USGrph
1413imp 419 . . . . . 6 USGrph
15 nbgraisvtx 21435 . . . . . . . . 9 USGrph Neighbors
165, 15syl5bi 209 . . . . . . . 8 USGrph
17 nbgraisvtx 21435 . . . . . . . . 9 USGrph Neighbors
189, 17syl5bi 209 . . . . . . . 8 USGrph
1916, 18anim12d 547 . . . . . . 7 USGrph
2019imp 419 . . . . . 6 USGrph
21 usgraedgrnv 21389 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
2221adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
23 frgranbnb.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 ax-1 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 FriendGrph
2524a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 FriendGrph
2625a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 FriendGrph
2726a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 FriendGrph
2827a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 FriendGrph
29 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph USGrph
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 USGrph USGrph
31 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 USGrph
3231adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
33 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3433adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3534adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 USGrph
3635adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
37 necom 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3837biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3938adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4039adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
4132, 36, 403jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 USGrph
42 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4443adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 USGrph
4544adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
46 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 USGrph
4746adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
48 necom 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4948biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5150adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 USGrph
5245, 47, 513jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 USGrph
5330, 41, 523jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 USGrph USGrph
5453ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 USGrph USGrph
5554adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 USGrph USGrph
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 USGrph USGrph
5756imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 USGrph USGrph
58 prcom 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5958eleq1i 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6059biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6160anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6261ancomd 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6362adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 USGrph
64 prcom 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6564eleq1i 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6665biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6766anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6863, 67anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 USGrph
6968adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 USGrph
70 4cyclusnfrgra 28346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 USGrph FriendGrph
7157, 69, 70sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 USGrph FriendGrph
7271pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 USGrph FriendGrph
7372ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 USGrph FriendGrph
7473com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 USGrph FriendGrph
7574exp41 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 USGrph FriendGrph
7675com25 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 USGrph FriendGrph
772, 76mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 FriendGrph
7877com15 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 FriendGrph
7978ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 FriendGrph
8028, 79pm2.61ine 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 FriendGrph
8180imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 FriendGrph
8281com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 FriendGrph
8382ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 FriendGrph
8483com25 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph
8584ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph
8685com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
8723, 1, 86sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8887com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
9089com12 29 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
9190adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
9222, 91mpcom 34 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
9392ex 424 . . . . . . . . . . 11 USGrph
9493com25 87 . . . . . . . . . 10 USGrph
9594com14 84 . . . . . . . . 9 USGrph
9695ex 424 . . . . . . . 8 USGrph
9796com15 89 . . . . . . 7 USGrph
9897adantr 452 . . . . . 6 USGrph
9914, 20, 98mp2d 43 . . . . 5 USGrph
10099ex 424 . . . 4 USGrph
101100com23 74 . . 3 USGrph
1023, 101mpcom 34 . 2
1031023imp 1147 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cpr 3807  cop 3809   class class class wbr 4204   crn 4871  (class class class)co 6073   USGrph cusg 21357   Neighbors cnbgra 21422   FriendGrph cfrgra 28315 This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlemB  28364 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611  df-usgra 21359  df-nbgra 21425  df-frgra 28316
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