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Theorem frgrawopreglem3 28372
Description: Lemma 3 for frgrawopreg 28375. The vertices in the sets A and B have different degrees. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
frgrawopreg.b  |-  B  =  ( V  \  A
)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, E    x, K    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem frgrawopreglem3
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 X ) )
21eqeq1d 2443 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  X
)  =  K ) )
3 frgrawopreg.a . . . 4  |-  A  =  { x  e.  V  |  ( ( V VDeg 
E ) `  x
)  =  K }
42, 3elrab2 3086 . . 3  |-  ( X  e.  A  <->  ( X  e.  V  /\  (
( V VDeg  E ) `  X )  =  K ) )
5 frgrawopreg.b . . . . . 6  |-  B  =  ( V  \  A
)
65eleq2i 2499 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( V  \  A ) )
7 eldif 3322 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  A )  <->  ( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  A ) )
86, 7bitri 241 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  A ) )
9 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 Y ) )
109eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  x )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  Y
)  =  K ) )
1110, 3elrab2 3086 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  A  <->  ( Y  e.  V  /\  (
( V VDeg  E ) `  Y )  =  K ) )
12 ianor 475 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( Y  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K )  <->  ( -.  Y  e.  V  \/  -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K ) )
13 pm2.21 102 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  Y  e.  V  -> 
( Y  e.  V  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  X )  =  K )  ->  ( ( V VDeg  E ) `  X
)  =/=  ( ( V VDeg  E ) `  Y ) ) ) )
14 necom 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =/=  ( ( V VDeg 
E ) `  Y
)  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  Y
)  =/=  K )
15 df-ne 2600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 Y )  =/= 
K  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  Y
)  =  K )
1614, 15bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  =/=  ( ( V VDeg 
E ) `  Y
)  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  Y
)  =  K )
1716biimpri 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K  ->  K  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
)
18 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 X )  =  K  ->  ( (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y )  <->  K  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
) )
1917, 18syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 X )  =  K  ->  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K  ->  ( ( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) )
2019adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K  ->  ( ( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) )
2120com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) )
2221a1d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K  ->  ( Y  e.  V  ->  (
( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) ) )
2313, 22jaoi 369 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  Y  e.  V  \/  -.  ( ( V VDeg 
E ) `  Y
)  =  K )  ->  ( Y  e.  V  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) ) )
2412, 23sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( Y  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  Y )  =  K )  ->  ( Y  e.  V  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) ) )
2511, 24sylnbi 298 . . . . . 6  |-  ( -.  Y  e.  A  -> 
( Y  e.  V  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E ) `  X )  =  K )  ->  ( ( V VDeg  E ) `  X
)  =/=  ( ( V VDeg  E ) `  Y ) ) ) )
2625impcom 420 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  A
)  ->  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( V VDeg  E ) `  X )  =/=  (
( V VDeg  E ) `  Y ) ) )
2726com12 29 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  (
( Y  e.  V  /\  -.  Y  e.  A
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  X
)  =/=  ( ( V VDeg  E ) `  Y ) ) )
288, 27syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =  K )  ->  ( Y  e.  B  ->  ( ( V VDeg  E ) `
 X )  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
) )
294, 28sylbi 188 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  ( Y  e.  B  ->  ( ( V VDeg  E ) `
 X )  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
) )
3029imp 419 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( V VDeg  E
) `  X )  =/=  ( ( V VDeg  E
) `  Y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701    \ cdif 3309   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   VDeg cvdg 21656
This theorem is referenced by:  frgrawopreglem4  28373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454
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