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Theorem frinfm 26416
Description: A subset of a well founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
frinfm  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, A, y, z    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z)

Proof of Theorem frinfm
StepHypRef Expression
1 fri 4355 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  R  Fr  A
)  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
21ancom1s 780 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  C
)  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
32exp43 595 . . 3  |-  ( R  Fr  A  ->  ( B  e.  C  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) ) ) )
433imp2 1166 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
5 ssel2 3175 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  A )
65adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  x  e.  A )
7 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
8 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
97, 8brcnv 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
109biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `' R y  ->  y R x )
1110con3i 127 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y R x  ->  -.  x `' R y )
1211ralimi 2618 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  -.  y R x  ->  A. y  e.  B  -.  x `' R y )
1312ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x `' R y )
14 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
y `' R z  <-> 
y `' R x ) )
1514rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  y `' R x )  ->  E. z  e.  B  y `' R z )
1615ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1716ralrimivw 2627 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1817ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
196, 13, 18jca32 521 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2019ex 423 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) ) )
2120reximdv2 2652 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2221adantl 452 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  C_  A )  -> 
( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
23223ad2antr2 1121 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
244, 23mpd 14 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    Fr wfr 4349   `'ccnv 4688
This theorem is referenced by:  welb  26417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-fr 4352  df-cnv 4697
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