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Theorem frinfm 26439
Description: A subset of a well-founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
frinfm  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, A, y, z    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z)

Proof of Theorem frinfm
StepHypRef Expression
1 fri 4546 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  R  Fr  A
)  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
21ancom1s 782 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  B  e.  C
)  /\  ( B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
32exp43 597 . . 3  |-  ( R  Fr  A  ->  ( B  e.  C  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) ) ) )
433imp2 1169 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
5 ssel2 3345 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  A )
65adantrr 699 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  x  e.  A )
7 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
8 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
97, 8brcnv 5057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
109biimpi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `' R y  ->  y R x )
1110con3i 130 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y R x  ->  -.  x `' R y )
1211ralimi 2783 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  -.  y R x  ->  A. y  e.  B  -.  x `' R y )
1312ad2antll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x `' R y )
14 breq2 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
y `' R z  <-> 
y `' R x ) )
1514rspcev 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  y `' R x )  ->  E. z  e.  B  y `' R z )
1615ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1716ralrimivw 2792 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1817ad2antrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
196, 13, 18jca32 523 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2019ex 425 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) ) )
2120reximdv2 2817 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2221adantl 454 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  B  C_  A )  -> 
( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
23223ad2antr2 1124 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
244, 23mpd 15 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( B  e.  C  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214    Fr wfr 4540   `'ccnv 4879
This theorem is referenced by:  welb  26440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4215  df-opab 4269  df-fr 4543  df-cnv 4888
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