Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frins2f Structured version   Unicode version

Theorem frins2f 25523
Description: Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frins2f.1  |-  R  Fr  A
frins2f.2  |-  R Se  A
frins2f.3  |-  F/ y ps
frins2f.4  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
frins2f.5  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
frins2f  |-  ( y  e.  A  ->  ph )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, z    y, R, z
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( y, z)

Proof of Theorem frins2f
StepHypRef Expression
1 frins2f.1 . . 3  |-  R  Fr  A
2 frins2f.2 . . 3  |-  R Se  A
3 frins2f.5 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) ps  ->  ph ) )
4 frins2f.3 . . . 4  |-  F/ y ps
5 frins2f.4 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
63, 4, 5frins2fg 25522 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
71, 2, 6mp2an 654 . 2  |-  A. y  e.  A  ph
87rspec 2770 1  |-  ( y  e.  A  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   F/wnf 1553    e. wcel 1725   A.wral 2705    Fr wfr 4538   Se wse 4539   Predcpred 25438
This theorem is referenced by:  frins2  25525
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-pred 25439  df-trpred 25496
  Copyright terms: Public domain W3C validator