Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frins2f Unicode version

Theorem frins2f 25470
Description: Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frins2f.1  |-  R  Fr  A
frins2f.2  |-  R Se  A
frins2f.3  |-  F/ y ps
frins2f.4  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
frins2f.5  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
frins2f  |-  ( y  e.  A  ->  ph )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, z    y, R, z
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( y, z)

Proof of Theorem frins2f
StepHypRef Expression
1 frins2f.1 . . 3  |-  R  Fr  A
2 frins2f.2 . . 3  |-  R Se  A
3 frins2f.5 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) ps  ->  ph ) )
4 frins2f.3 . . . 4  |-  F/ y ps
5 frins2f.4 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
63, 4, 5frins2fg 25469 . . 3  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
71, 2, 6mp2an 654 . 2  |-  A. y  e.  A  ph
87rspec 2738 1  |-  ( y  e.  A  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   F/wnf 1550    e. wcel 1721   A.wral 2674    Fr wfr 4506   Se wse 4507   Predcpred 25389
This theorem is referenced by:  frins2  25472
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-pred 25390  df-trpred 25443
  Copyright terms: Public domain W3C validator