Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frins2fg Unicode version

Theorem frins2fg 24318
Description: Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frins2fg.1  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) ps  ->  ph ) )
frins2fg.2  |-  F/ y ps
frins2fg.3  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
frins2fg  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, z    y, R, z
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( y, z)

Proof of Theorem frins2fg
StepHypRef Expression
1 sbsbc 3008 . . . . 5  |-  ( [ z  /  y ]
ph 
<-> 
[. z  /  y ]. ph )
2 frins2fg.2 . . . . . 6  |-  F/ y ps
3 frins2fg.3 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
42, 3sbie 1991 . . . . 5  |-  ( [ z  /  y ]
ph 
<->  ps )
51, 4bitr3i 242 . . . 4  |-  ( [. z  /  y ]. ph  <->  ps )
65ralbii 2580 . . 3  |-  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  / 
y ]. ph  <->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  y ) ps )
7 frins2fg.1 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) ps  ->  ph ) )
86, 7syl5bi 208 . 2  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
98frinsg 24316 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   F/wnf 1534   [wsb 1638    e. wcel 1696   A.wral 2556   [.wsbc 3004    Fr wfr 4365   Se wse 4366   Predcpred 24238
This theorem is referenced by:  frins2f  24319  frins2g  24320
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-pred 24239  df-trpred 24292
  Copyright terms: Public domain W3C validator