Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frins2fg Structured version   Unicode version

Theorem frins2fg 25522
Description: Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frins2fg.1  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) ps  ->  ph ) )
frins2fg.2  |-  F/ y ps
frins2fg.3  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
frins2fg  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, z    y, R, z
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( y, z)

Proof of Theorem frins2fg
StepHypRef Expression
1 sbsbc 3165 . . . . 5  |-  ( [ z  /  y ]
ph 
<-> 
[. z  /  y ]. ph )
2 frins2fg.2 . . . . . 6  |-  F/ y ps
3 frins2fg.3 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
42, 3sbie 2149 . . . . 5  |-  ( [ z  /  y ]
ph 
<->  ps )
51, 4bitr3i 243 . . . 4  |-  ( [. z  /  y ]. ph  <->  ps )
65ralbii 2729 . . 3  |-  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  / 
y ]. ph  <->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  y ) ps )
7 frins2fg.1 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) ps  ->  ph ) )
86, 7syl5bi 209 . 2  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
98frinsg 25520 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   F/wnf 1553   [wsb 1658    e. wcel 1725   A.wral 2705   [.wsbc 3161    Fr wfr 4538   Se wse 4539   Predcpred 25438
This theorem is referenced by:  frins2f  25523  frins2g  25524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-pred 25439  df-trpred 25496
  Copyright terms: Public domain W3C validator