Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frins2fg Unicode version

Theorem frins2fg 24247
Description: Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frins2fg.1  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) ps  ->  ph ) )
frins2fg.2  |-  F/ y ps
frins2fg.3  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
frins2fg  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, z    y, R, z
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( y, z)

Proof of Theorem frins2fg
StepHypRef Expression
1 sbsbc 2995 . . . . 5  |-  ( [ z  /  y ]
ph 
<-> 
[. z  /  y ]. ph )
2 frins2fg.2 . . . . . 6  |-  F/ y ps
3 frins2fg.3 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
42, 3sbie 1978 . . . . 5  |-  ( [ z  /  y ]
ph 
<->  ps )
51, 4bitr3i 242 . . . 4  |-  ( [. z  /  y ]. ph  <->  ps )
65ralbii 2567 . . 3  |-  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  / 
y ]. ph  <->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  y ) ps )
7 frins2fg.1 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) ps  ->  ph ) )
86, 7syl5bi 208 . 2  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
98frinsg 24245 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   F/wnf 1531   [wsb 1629    e. wcel 1684   A.wral 2543   [.wsbc 2991    Fr wfr 4349   Se wse 4350   Predcpred 24167
This theorem is referenced by:  frins2f  24248  frins2g  24249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-pred 24168  df-trpred 24221
  Copyright terms: Public domain W3C validator