Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frinsg Structured version   Unicode version

Theorem frinsg 25505
Description: Founded Induction Schema. If a property passes from all elements less than  y of a founded class  A to  y itself (induction hypothesis), then the property holds for all elements of  A. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frinsg.1  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
frinsg  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, z    y, R, z
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem frinsg
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3420 . . 3  |-  { y  e.  A  |  ph }  C_  A
2 dfss3 3330 . . . . . . . 8  |-  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph } 
<-> 
A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) z  e. 
{ y  e.  A  |  ph } )
3 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y A
43elrabsf 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { y  e.  A  |  ph }  <->  ( z  e.  A  /\  [. z  /  y ]. ph ) )
54simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { y  e.  A  |  ph }  ->  [. z  /  y ]. ph )
65ralimi 2773 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w
) z  e.  {
y  e.  A  |  ph }  ->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph )
72, 6sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph )
8 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  w  e.  A
9 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y Pred ( R ,  A ,  w )
10 nfsbc1v 3172 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y
[. z  /  y ]. ph
119, 10nfral 2751 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph
12 nfsbc1v 3172 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y
[. w  /  y ]. ph
1311, 12nfim 1832 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph )
148, 13nfim 1832 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( w  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) )
15 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  A  <->  w  e.  A ) )
16 predeq3 25430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A ,  w ) )
1716raleqdv 2902 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  <->  A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph ) )
18 sbceq1a 3163 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  y ]. ph ) )
1917, 18imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w
) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) ) )
2015, 19imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )  <-> 
( w  e.  A  ->  ( A. z  e. 
Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  / 
y ]. ph ) ) ) )
21 frinsg.1 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A , 
y ) [. z  /  y ]. ph  ->  ph ) )
2214, 20, 21chvar 1968 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. z  e.  Pred  ( R ,  A ,  w ) [. z  /  y ]. ph  ->  [. w  /  y ]. ph ) )
237, 22syl5 30 . . . . . 6  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  [. w  /  y ]. ph ) )
2423anc2li 541 . . . . 5  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  ( w  e.  A  /\  [. w  /  y ]. ph )
) )
253elrabsf 3191 . . . . 5  |-  ( w  e.  { y  e.  A  |  ph }  <->  ( w  e.  A  /\  [. w  /  y ]. ph ) )
2624, 25syl6ibr 219 . . . 4  |-  ( w  e.  A  ->  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } ) )
2726rgen 2763 . . 3  |-  A. w  e.  A  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } )
28 frind 25503 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( { y  e.  A  |  ph }  C_  A  /\  A. w  e.  A  ( Pred ( R ,  A ,  w )  C_  { y  e.  A  |  ph }  ->  w  e.  {
y  e.  A  |  ph } ) ) )  ->  A  =  {
y  e.  A  |  ph } )
291, 27, 28mpanr12 667 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A  =  { y  e.  A  |  ph } )
30 rabid2 2877 . 2  |-  ( A  =  { y  e.  A  |  ph }  <->  A. y  e.  A  ph )
3129, 30sylib 189 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   [.wsbc 3153    C_ wss 3312    Fr wfr 4530   Se wse 4531   Predcpred 25426
This theorem is referenced by:  frins  25506  frins2fg  25507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-pred 25427  df-trpred 25481
  Copyright terms: Public domain W3C validator