Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frisusgranb Structured version   Unicode version

Theorem frisusgranb 28387
 Description: In a friendship graph, the neighborhoods of two different vertices have exactly one vertex in common. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
frisusgranb FriendGrph Neighbors Neighbors
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem frisusgranb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgrapr 28381 . 2 FriendGrph USGrph
2 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . 12
3 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . 12
42, 3mpbii 203 . . . . . . . . . . 11
5 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12
65snss 3926 . . . . . . . . . . 11
74, 6sylibr 204 . . . . . . . . . 10
87adantl 453 . . . . . . . . 9 USGrph
9 nbusgra 21440 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph Neighbors
10 nbusgra 21440 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph Neighbors
119, 10ineq12d 3543 . . . . . . . . . . . 12 USGrph Neighbors Neighbors
1211ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11 USGrph Neighbors Neighbors
13 inrab 3613 . . . . . . . . . . 11
1412, 13syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10 USGrph Neighbors Neighbors
15 prcom 3882 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615eleq1i 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 prcom 3882 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817eleq1i 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15
1916, 18anbi12i 679 . . . . . . . . . . . . . 14
20 zfpair2 4404 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 zfpair2 4404 . . . . . . . . . . . . . . 15
2220, 21prss 3952 . . . . . . . . . . . . . 14
2319, 22bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
2524rabbidva 2947 . . . . . . . . . . 11 USGrph
2625adantr 452 . . . . . . . . . 10 USGrph
27 simpr 448 . . . . . . . . . 10 USGrph
2814, 26, 273eqtrd 2472 . . . . . . . . 9 USGrph Neighbors Neighbors
298, 28jca 519 . . . . . . . 8 USGrph Neighbors Neighbors
3029ex 424 . . . . . . 7 USGrph Neighbors Neighbors
3130eximdv 1632 . . . . . 6 USGrph Neighbors Neighbors
32 reusn 3877 . . . . . 6
33 df-rex 2711 . . . . . 6 Neighbors Neighbors Neighbors Neighbors
3431, 32, 333imtr4g 262 . . . . 5 USGrph Neighbors Neighbors
3534ralimdva 2784 . . . 4 USGrph Neighbors Neighbors
3635ralimdva 2784 . . 3 USGrph Neighbors Neighbors
3736imp 419 . 2 USGrph Neighbors Neighbors
381, 37syl 16 1 FriendGrph Neighbors Neighbors
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  wreu 2707  crab 2709   cdif 3317   cin 3319   wss 3320  csn 3814  cpr 3815  cop 3817   class class class wbr 4212   crn 4879  (class class class)co 6081   USGrph cusg 21365   Neighbors cnbgra 21430   FriendGrph cfrgra 28378 This theorem is referenced by:  frgrancvvdeqlem4  28422 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-usgra 21367  df-nbgra 21433  df-frgra 28379
 Copyright terms: Public domain W3C validator