Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmlss Structured version   Unicode version

Theorem frlmlss 27196
 Description: The base set of the free module is a subspace of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f freeLMod
frlmpws.b
frlmlss.u ringLMod s
Assertion
Ref Expression
frlmlss

Proof of Theorem frlmlss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpws.b . . 3
2 frlmval.f . . . . 5 freeLMod
32frlmval 27193 . . . 4 m ringLMod
43fveq2d 5732 . . 3 m ringLMod
51, 4syl5eq 2480 . 2 m ringLMod
6 simpr 448 . . . 4
7 simpl 444 . . . 4
8 rlmlmod 16276 . . . . . 6 ringLMod
98adantr 452 . . . . 5 ringLMod
10 fconst6g 5632 . . . . 5 ringLMod ringLMod
119, 10syl 16 . . . 4 ringLMod
12 fvex 5742 . . . . . . . 8 ringLMod
1312fvconst2 5947 . . . . . . 7 ringLMod ringLMod
1413adantl 453 . . . . . 6 ringLMod ringLMod
1514fveq2d 5732 . . . . 5 Scalar ringLMod ScalarringLMod
16 rlmsca 16271 . . . . . 6 ScalarringLMod
1716ad2antrr 707 . . . . 5 ScalarringLMod
1815, 17eqtr4d 2471 . . . 4 Scalar ringLMod
19 eqid 2436 . . . 4 s ringLMod s ringLMod
20 eqid 2436 . . . 4 s ringLMod s ringLMod
21 eqid 2436 . . . 4 m ringLMod m ringLMod
226, 7, 11, 18, 19, 20, 21dsmmlss 27187 . . 3 m ringLMod s ringLMod
23 eqid 2436 . . . . . . . . 9 ringLMod s ringLMod s
24 eqid 2436 . . . . . . . . 9 ScalarringLMod ScalarringLMod
2523, 24pwsval 13708 . . . . . . . 8 ringLMod ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
2612, 25mpan 652 . . . . . . 7 ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
2726adantl 453 . . . . . 6 ringLMod s ScalarringLMods ringLMod
2816eqcomd 2441 . . . . . . . 8 ScalarringLMod
2928adantr 452 . . . . . . 7 ScalarringLMod
3029oveq1d 6096 . . . . . 6 ScalarringLMods ringLMod s ringLMod
3127, 30eqtr2d 2469 . . . . 5 s ringLMod ringLMod s
3231fveq2d 5732 . . . 4 s ringLMod ringLMod s
33 frlmlss.u . . . 4 ringLMod s
3432, 33syl6eqr 2486 . . 3 s ringLMod
3522, 34eleqtrd 2512 . 2 m ringLMod
365, 35eqeltrd 2510 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956  csn 3814   cxp 4876  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  Scalarcsca 13532  scprds 13669   s cpws 13670  crg 15660  clmod 15950  clss 16008  ringLModcrglmod 16241   m cdsmm 27174   freeLMod cfrlm 27189 This theorem is referenced by:  frlm0  27199  frlmgsum  27209  frlmsplit2  27220 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-dsmm 27175  df-frlm 27191
 Copyright terms: Public domain W3C validator