Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Unicode version

Theorem frlmpwfi 27194
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
frlmpwfi.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmpwfi.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
2 fvex 5734 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  2
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2505 . . . . 5  |-  R  e. 
_V
4 frlmpwfi.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
5 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
7 eqid 2435 . . . . . 6  |-  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin }
84, 5, 6, 7frlmbas 27155 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  V )  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  Y )
)
93, 8mpan 652 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  Y )
)
10 frlmpwfi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
119, 10syl6eqr 2485 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  B )
12 eqid 2435 . . . 4  |-  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }
13 enrefg 7131 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  ~~  I )
14 2nn 10123 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
151, 5znhash 16829 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  R
) )  =  2 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  2
17 hash2 11664 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
1816, 17eqtr4i 2458 . . . . . 6  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  (
# `  2o )
19 2nn0 10228 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2016, 19eqeltri 2505 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  e.  NN0
21 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
22 hashclb 11631 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  ->  ( ( Base `  R )  e. 
Fin 
<->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 ) )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  R )  e.  Fin  <->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 )
2420, 23mpbir 201 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  Fin
25 2onn 6875 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
26 nnfi 7291 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  2o  e.  Fin
28 hashen 11621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
)
2924, 27, 28mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
3018, 29mpbi 200 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  ~~  2o
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  R )  ~~  2o )
321zncrng 16815 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  NN0  ->  R  e. 
CRing )
33 crngrng 15664 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
3419, 32, 33mp2b 10 . . . . 5  |-  R  e. 
Ring
355, 6rng0cl 15675 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
3634, 35mp1i 12 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )
37 2on0 6725 . . . . . 6  |-  2o  =/=  (/)
38 2on 6724 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
39 on0eln0 4628 . . . . . . 7  |-  ( 2o  e.  On  ->  ( (/) 
e.  2o  <->  2o  =/=  (/) ) )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  2o  <->  2o  =/=  (/) )
4137, 40mpbir 201 . . . . 5  |-  (/)  e.  2o
4241a1i 11 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (/)  e.  2o )
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2 27190 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  ~~  { x  e.  ( 2o 
^m  I )  |  ( `' x "
( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin } )
4411, 43eqbrtrrd 4226 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin } )
4512pwfi2en 27193 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
46 entr 7151 . 2  |-  ( ( B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  /\  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }  ~~  ( ~P I  i^i  Fin )
)  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i  Fin ) )
4744, 45, 46syl2anc 643 1  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    i^i cin 3311   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   class class class wbr 4204   Oncon0 4573   omcom 4837   `'ccnv 4869   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   2oc2o 6710    ^m cmap 7010    ~~ cen 7098   Fincfn 7101   NNcn 9990   2c2 10039   NN0cn0 10211   #chash 11608   Basecbs 13459   0gc0g 13713   Ringcrg 15650   CRingccrg 15651  ℤ/nczn 16771   freeLMod cfrlm 27144
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  27202
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-hash 11609  df-dvds 12843  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-prds 13661  df-pws 13663  df-0g 13717  df-imas 13724  df-divs 13725  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-nsg 14932  df-eqg 14933  df-ghm 14994  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-rnghom 15809  df-subrg 15856  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-sra 16234  df-rgmod 16235  df-lidl 16236  df-rsp 16237  df-2idl 16293  df-cnfld 16694  df-zrh 16772  df-zn 16775  df-dsmm 27130  df-frlm 27146
  Copyright terms: Public domain W3C validator