Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Unicode version

Theorem frlmpwfi 27365
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
frlmpwfi.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmpwfi.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
2 fvex 5555 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  2
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2366 . . . . 5  |-  R  e. 
_V
4 frlmpwfi.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin }
84, 5, 6, 7frlmbas 27326 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  V )  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  Y )
)
93, 8mpan 651 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  Y )
)
10 frlmpwfi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
119, 10syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  B )
12 eqid 2296 . . . 4  |-  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }
13 enrefg 6909 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  ~~  I )
14 2nn 9893 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
151, 5znhash 16528 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  R
) )  =  2 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  2
17 hash2 11387 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
1816, 17eqtr4i 2319 . . . . . 6  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  (
# `  2o )
19 2nn0 9998 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2016, 19eqeltri 2366 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  e.  NN0
21 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
22 hashclb 11368 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  ->  ( ( Base `  R )  e. 
Fin 
<->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 ) )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  R )  e.  Fin  <->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 )
2420, 23mpbir 200 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  Fin
25 2onn 6654 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
26 nnfi 7069 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  2o  e.  Fin
28 hashen 11362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
)
2924, 27, 28mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
3018, 29mpbi 199 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  ~~  2o
3130a1i 10 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  R )  ~~  2o )
321zncrng 16514 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  NN0  ->  R  e. 
CRing )
33 crngrng 15367 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
3419, 32, 33mp2b 9 . . . . 5  |-  R  e. 
Ring
355, 6rng0cl 15378 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
3634, 35mp1i 11 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )
37 2on0 6504 . . . . . 6  |-  2o  =/=  (/)
38 2on 6503 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
39 on0eln0 4463 . . . . . . 7  |-  ( 2o  e.  On  ->  ( (/) 
e.  2o  <->  2o  =/=  (/) ) )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  2o  <->  2o  =/=  (/) )
4137, 40mpbir 200 . . . . 5  |-  (/)  e.  2o
4241a1i 10 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (/)  e.  2o )
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2 27361 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  ~~  { x  e.  ( 2o 
^m  I )  |  ( `' x "
( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin } )
4411, 43eqbrtrrd 4061 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin } )
4512pwfi2en 27364 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
46 entr 6929 . 2  |-  ( ( B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  /\  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }  ~~  ( ~P I  i^i  Fin )
)  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i  Fin ) )
4744, 45, 46syl2anc 642 1  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   class class class wbr 4039   Oncon0 4408   omcom 4672   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   2oc2o 6489    ^m cmap 6788    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   #chash 11353   Basecbs 13164   0gc0g 13416   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354  ℤ/nczn 16470   freeLMod cfrlm 27315
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  27373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-hash 11354  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-dsmm 27301  df-frlm 27317
  Copyright terms: Public domain W3C validator