Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Unicode version

Theorem frlmpwfi 27262
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
frlmpwfi.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmpwfi.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
2 fvex 5539 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  2
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2353 . . . . 5  |-  R  e. 
_V
4 frlmpwfi.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
5 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
7 eqid 2283 . . . . . 6  |-  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin }
84, 5, 6, 7frlmbas 27223 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  V )  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  Y )
)
93, 8mpan 651 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  Y )
)
10 frlmpwfi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
119, 10syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  B )
12 eqid 2283 . . . 4  |-  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }
13 enrefg 6893 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  ~~  I )
14 2nn 9877 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
151, 5znhash 16512 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  R
) )  =  2 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  2
17 hash2 11371 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
1816, 17eqtr4i 2306 . . . . . 6  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  (
# `  2o )
19 2nn0 9982 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2016, 19eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  e.  NN0
21 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
22 hashclb 11352 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  ->  ( ( Base `  R )  e. 
Fin 
<->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 ) )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  R )  e.  Fin  <->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 )
2420, 23mpbir 200 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  Fin
25 2onn 6638 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
26 nnfi 7053 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  2o  e.  Fin
28 hashen 11346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
)
2924, 27, 28mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
3018, 29mpbi 199 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  ~~  2o
3130a1i 10 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  R )  ~~  2o )
321zncrng 16498 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  NN0  ->  R  e. 
CRing )
33 crngrng 15351 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
3419, 32, 33mp2b 9 . . . . 5  |-  R  e. 
Ring
355, 6rng0cl 15362 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
3634, 35mp1i 11 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )
37 2on0 6488 . . . . . 6  |-  2o  =/=  (/)
38 2on 6487 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
39 on0eln0 4447 . . . . . . 7  |-  ( 2o  e.  On  ->  ( (/) 
e.  2o  <->  2o  =/=  (/) ) )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  2o  <->  2o  =/=  (/) )
4137, 40mpbir 200 . . . . 5  |-  (/)  e.  2o
4241a1i 10 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (/)  e.  2o )
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2 27258 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  ~~  { x  e.  ( 2o 
^m  I )  |  ( `' x "
( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin } )
4411, 43eqbrtrrd 4045 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin } )
4512pwfi2en 27261 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
46 entr 6913 . 2  |-  ( ( B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  /\  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }  ~~  ( ~P I  i^i  Fin )
)  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i  Fin ) )
4744, 45, 46syl2anc 642 1  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   omcom 4656   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   2oc2o 6473    ^m cmap 6772    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   #chash 11337   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338  ℤ/nczn 16454   freeLMod cfrlm 27212
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  27270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-hash 11338  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-dsmm 27198  df-frlm 27214
  Copyright terms: Public domain W3C validator