Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Unicode version

Theorem frlmpwfi 27194
 Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r ℤ/n
frlmpwfi.y freeLMod
frlmpwfi.b
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6 ℤ/n
2 fvex 5734 . . . . . 6 ℤ/n
31, 2eqeltri 2505 . . . . 5
4 frlmpwfi.y . . . . . 6 freeLMod
5 eqid 2435 . . . . . 6
6 eqid 2435 . . . . . 6
7 eqid 2435 . . . . . 6
84, 5, 6, 7frlmbas 27155 . . . . 5
93, 8mpan 652 . . . 4
10 frlmpwfi.b . . . 4
119, 10syl6eqr 2485 . . 3
12 eqid 2435 . . . 4
13 enrefg 7131 . . . 4
14 2nn 10123 . . . . . . . 8
151, 5znhash 16829 . . . . . . . 8
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . 7
17 hash2 11664 . . . . . . 7
1816, 17eqtr4i 2458 . . . . . 6
19 2nn0 10228 . . . . . . . . 9
2016, 19eqeltri 2505 . . . . . . . 8
21 fvex 5734 . . . . . . . . 9
22 hashclb 11631 . . . . . . . . 9
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . 8
2420, 23mpbir 201 . . . . . . 7
25 2onn 6875 . . . . . . . 8
26 nnfi 7291 . . . . . . . 8
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . 7
28 hashen 11621 . . . . . . 7
2924, 27, 28mp2an 654 . . . . . 6
3018, 29mpbi 200 . . . . 5
3130a1i 11 . . . 4
321zncrng 16815 . . . . . 6
33 crngrng 15664 . . . . . 6
3419, 32, 33mp2b 10 . . . . 5
355, 6rng0cl 15675 . . . . 5
3634, 35mp1i 12 . . . 4
37 2on0 6725 . . . . . 6
38 2on 6724 . . . . . . 7
39 on0eln0 4628 . . . . . . 7
4038, 39ax-mp 8 . . . . . 6
4137, 40mpbir 201 . . . . 5
4241a1i 11 . . . 4
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2 27190 . . 3
4411, 43eqbrtrrd 4226 . 2
4512pwfi2en 27193 . 2
46 entr 7151 . 2
4744, 45, 46syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   cin 3311  c0 3620  cpw 3791  csn 3806   class class class wbr 4204  con0 4573  com 4837  ccnv 4869  cima 4873  cfv 5446  (class class class)co 6073  c2o 6710   cmap 7010   cen 7098  cfn 7101  cn 9990  c2 10039  cn0 10211  chash 11608  cbs 13459  c0g 13713  crg 15650  ccrg 15651  ℤ/nℤczn 16771   freeLMod cfrlm 27144 This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  27202 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-hash 11609  df-dvds 12843  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-prds 13661  df-pws 13663  df-0g 13717  df-imas 13724  df-divs 13725  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-nsg 14932  df-eqg 14933  df-ghm 14994  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-rnghom 15809  df-subrg 15856  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-sra 16234  df-rgmod 16235  df-lidl 16236  df-rsp 16237  df-2idl 16293  df-cnfld 16694  df-zrh 16772  df-zn 16775  df-dsmm 27130  df-frlm 27146
 Copyright terms: Public domain W3C validator