Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpws Structured version   Unicode version

Theorem frlmpws 27186
Description: The free module as a restriction of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmpws.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
frlmpws  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )

Proof of Theorem frlmpws
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) ) )  =  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) ) )
21dsmmval2 27170 . . 3  |-  ( R 
(+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )s  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) ) )
3 rlmsca 16263 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) ) )
54oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( R X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
6 frlmval.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
76frlmval 27184 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F  =  ( R 
(+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
87eqcomd 2440 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) )  =  F )
98fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )  =  ( Base `  F
) )
10 frlmpws.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
119, 10syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )  =  B )
125, 11oveq12d 6091 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( ( R X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) )s  ( Base `  ( R  (+)m  ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) ) )  =  ( ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )s  B ) )
132, 12syl5eq 2479 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( R  (+)m  ( I  X.  { (ringLMod `  R
) } ) )  =  ( ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) )s  B ) )
14 fvex 5734 . . . . 5  |-  (ringLMod `  R
)  e.  _V
15 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
16 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )
1715, 16pwsval 13700 . . . . 5  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  _V  /\  I  e.  W )  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
1814, 17mpan 652 . . . 4  |-  ( I  e.  W  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R )
) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
1918adantl 453 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )  =  ( (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) X_s ( I  X.  {
(ringLMod `  R ) } ) ) )
2019oveq1d 6088 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B )  =  ( ( (Scalar `  (ringLMod `  R ) ) X_s (
I  X.  { (ringLMod `  R ) } ) )s  B ) )
2113, 7, 203eqtr4d 2477 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   ↾s cress 13462  Scalarcsca 13524   X_scprds 13661    ^s cpws 13662  ringLModcrglmod 16233    (+)m cdsmm 27165   freeLMod cfrlm 27180
This theorem is referenced by:  frlmsca  27189  frlm0  27190  frlmplusgval  27197  frlmvscafval  27198  frlmgsum  27200  frlmsplit2  27211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-dsmm 27166  df-frlm 27182
  Copyright terms: Public domain W3C validator