Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmsplit2 Structured version   Unicode version

Theorem frlmsplit2 27222
 Description: Restriction is homomoprhic on free modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsplit2.y freeLMod
frlmsplit2.z freeLMod
frlmsplit2.b
frlmsplit2.c
frlmsplit2.f
Assertion
Ref Expression
frlmsplit2 LMHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem frlmsplit2
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . . 6
2 simp2 959 . . . . . 6
3 frlmsplit2.y . . . . . . 7 freeLMod
4 frlmsplit2.b . . . . . . 7
5 eqid 2438 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
63, 4, 5frlmlss 27198 . . . . . 6 ringLMod s
71, 2, 6syl2anc 644 . . . . 5 ringLMod s
8 eqid 2438 . . . . . 6 ringLMod s ringLMod s
98, 5lssss 16015 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s
10 resmpt 5193 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s
117, 9, 103syl 19 . . . 4 ringLMod s
12 frlmsplit2.f . . . 4
1311, 12syl6eqr 2488 . . 3 ringLMod s
14 rlmlmod 16278 . . . . . 6 ringLMod
15 eqid 2438 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
16 eqid 2438 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
17 eqid 2438 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
18 eqid 2438 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
1915, 16, 8, 17, 18pwssplit3 27169 . . . . . 6 ringLMod ringLMod s ringLMod s LMHom ringLMod s
2014, 19syl3an1 1218 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s LMHom ringLMod s
21 eqid 2438 . . . . . 6 ringLMod s s ringLMod s s
225, 21reslmhm 16130 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s LMHom ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s
2320, 7, 22syl2anc 644 . . . 4 ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s
24143ad2ant1 979 . . . . . 6 ringLMod
25 simp3 960 . . . . . . 7
262, 25ssexd 4352 . . . . . 6
2716pwslmod 16048 . . . . . 6 ringLMod ringLMod s
2824, 26, 27syl2anc 644 . . . . 5 ringLMod s
29 frlmsplit2.z . . . . . . 7 freeLMod
30 frlmsplit2.c . . . . . . 7
31 eqid 2438 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
3229, 30, 31frlmlss 27198 . . . . . 6 ringLMod s
331, 26, 32syl2anc 644 . . . . 5 ringLMod s
3411rneqd 5099 . . . . . 6 ringLMod s
35 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
363, 35, 4frlmbasf 27207 . . . . . . . . . . . 12
372, 36sylan 459 . . . . . . . . . . 11
38 simpl3 963 . . . . . . . . . . 11
39 fssres 5612 . . . . . . . . . . 11
4037, 38, 39syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
41 fvex 5744 . . . . . . . . . . . 12
42 elmapg 7033 . . . . . . . . . . . 12
4341, 26, 42sylancr 646 . . . . . . . . . . 11
4443adantr 453 . . . . . . . . . 10
4540, 44mpbird 225 . . . . . . . . 9
46 cnvresima 5361 . . . . . . . . . 10
47 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
483, 47, 4frlmbassup 27205 . . . . . . . . . . . 12
492, 48sylan 459 . . . . . . . . . . 11
50 inss1 3563 . . . . . . . . . . 11
51 ssfi 7331 . . . . . . . . . . 11
5249, 50, 51sylancl 645 . . . . . . . . . 10
5346, 52syl5eqel 2522 . . . . . . . . 9
5429, 35, 47, 30frlmelbas 27203 . . . . . . . . . . 11
551, 26, 54syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
5655adantr 453 . . . . . . . . 9
5745, 53, 56mpbir2and 890 . . . . . . . 8
58 eqid 2438 . . . . . . . 8
5957, 58fmptd 5895 . . . . . . 7
60 frn 5599 . . . . . . 7
6159, 60syl 16 . . . . . 6
6234, 61eqsstrd 3384 . . . . 5 ringLMod s
63 eqid 2438 . . . . . 6 ringLMod s s ringLMod s s
6463, 31reslmhm2b 16132 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s s
6528, 33, 62, 64syl3anc 1185 . . . 4 ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s s
6623, 65mpbid 203 . . 3 ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s s
6713, 66eqeltrrd 2513 . 2 ringLMod s s LMHom ringLMod s s
683, 4frlmpws 27197 . . . 4 ringLMod s s
691, 2, 68syl2anc 644 . . 3 ringLMod s s
7029, 30frlmpws 27197 . . . 4 ringLMod s s
711, 26, 70syl2anc 644 . . 3 ringLMod s s
7269, 71oveq12d 6101 . 2 LMHom ringLMod s s LMHom ringLMod s s
7367, 72eleqtrrd 2515 1 LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cdif 3319   cin 3321   wss 3322  csn 3816   cmpt 4268  ccnv 4879   crn 4881   cres 4882  cima 4883  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmap 7020  cfn 7111  cbs 13471   ↾s cress 13472   s cpws 13672  c0g 13725  crg 15662  clmod 15952  clss 16010   LMHom clmhm 16097  ringLModcrglmod 16243   freeLMod cfrlm 27191 This theorem is referenced by:  frlmsslss  27223 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-pws 13675  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lmhm 16100  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-dsmm 27177  df-frlm 27193
 Copyright terms: Public domain W3C validator