Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmsslsp Unicode version

Theorem frlmsslsp 26396
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslsp.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslsp.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
frlmsslsp.k  |-  K  =  ( LSpan `  Y )
frlmsslsp.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslsp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslsp.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
frlmsslsp  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  =  C )
Distinct variable groups:    x, Y    x, U    x, B    x,  .0.    x, R    x, I    x, V    x, J    x, K
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslsp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmsslsp.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
21frlmlmod 26365 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  LMod )
323adant3 975 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Y  e.  LMod )
4 eqid 2316 . . . 4  |-  ( LSubSp `  Y )  =  (
LSubSp `  Y )
5 frlmsslsp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
6 frlmsslsp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 frlmsslsp.c . . . 4  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J }
81, 4, 5, 6, 7frlmsslss2 26393 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  ( LSubSp `  Y )
)
9 frlmsslsp.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( R unitVec  I )
109, 1, 5uvcff 26388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  U : I --> B )
11103adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  U : I --> B )
1211adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  U : I --> B )
13 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_  I )
1413sselda 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  y  e.  I )
15 ffvelrn 5701 . . . . . . 7  |-  ( ( U : I --> B  /\  y  e.  I )  ->  ( U `  y
)  e.  B )
1612, 14, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
)  e.  B )
17 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  I  e.  V )
18 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
191, 18, 5frlmbasf 26376 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( U `  y )  e.  B )  -> 
( U `  y
) : I --> ( Base `  R ) )
2017, 16, 19syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
) : I --> ( Base `  R ) )
21 simpll1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  R  e.  Ring )
22 simpll2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  I  e.  V )
2314adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  y  e.  I )
24 eldifi 3332 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( I  \  J )  ->  x  e.  I )
2524adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  x  e.  I )
26 disjdif 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  i^i  ( I  \  J ) )  =  (/)
27 disjne 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/)  /\  y  e.  J  /\  x  e.  ( I  \  J
) )  ->  y  =/=  x )
2826, 27mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  -> 
y  =/=  x )
2928adantll 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  y  =/=  x )
309, 21, 22, 23, 25, 29, 6uvcvv0 26387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  ( ( U `  y ) `  x )  =  .0.  )
3120, 30suppss 5696 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( `' ( U `
 y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J )
32 cnveq 4892 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  `' x  =  `' ( U `  y )
)
3332imaeq1d 5048 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  ( `' x " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( U `  y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
3433sseq1d 3239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  (
( `' x "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J 
<->  ( `' ( U `
 y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J ) )
3534, 7elrab2 2959 . . . . . 6  |-  ( ( U `  y )  e.  C  <->  ( ( U `  y )  e.  B  /\  ( `' ( U `  y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  J
) )
3616, 31, 35sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
)  e.  C )
3736ralrimiva 2660 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C
)
38 ffn 5427 . . . . . . 7  |-  ( U : I --> B  ->  U  Fn  I )
3911, 38syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  U  Fn  I )
40 fnfun 5378 . . . . . 6  |-  ( U  Fn  I  ->  Fun  U )
4139, 40syl 15 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Fun  U )
42 fndm 5380 . . . . . . 7  |-  ( U  Fn  I  ->  dom  U  =  I )
4339, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  dom  U  =  I )
4413, 43sseqtr4d 3249 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_ 
dom  U )
45 funimass4 5611 . . . . 5  |-  ( ( Fun  U  /\  J  C_ 
dom  U )  -> 
( ( U " J )  C_  C  <->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C ) )
4641, 44, 45syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
( U " J
)  C_  C  <->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C
) )
4737, 46mpbird 223 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  C )
48 frlmsslsp.k . . . 4  |-  K  =  ( LSpan `  Y )
494, 48lspssp 15794 . . 3  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  C  e.  ( LSubSp `  Y )  /\  ( U " J
)  C_  C )  ->  ( K `  ( U " J ) ) 
C_  C )
503, 8, 47, 49syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  C_  C )
51 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  R  e.  Ring )
52 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  I  e.  V )
53 ssrab2 3292 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  J }  C_  B
547, 53eqsstri 3242 . . . . . . . 8  |-  C  C_  B
5554a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  C_  B )
5655sselda 3214 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  B )
57 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
589, 1, 5, 57uvcresum 26390 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( Y  gsumg  ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) ) )
5951, 52, 56, 58syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  =  ( Y 
gsumg  ( y  o F ( .s `  Y
) U ) ) )
60 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
61 lmodabl 15721 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  LMod  ->  Y  e. 
Abel )
623, 61syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Y  e.  Abel )
6362adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  Y  e.  Abel )
64 imassrn 5062 . . . . . . . . . 10  |-  ( U
" J )  C_  ran  U
65 frn 5433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U : I --> B  ->  ran  U  C_  B )
6611, 65syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ran  U 
C_  B )
6764, 66syl5ss 3224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  B )
685, 4, 48lspcl 15782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U " J )  C_  B )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
693, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
704lsssubg 15763 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)  ->  ( K `  ( U " J
) )  e.  (SubGrp `  Y ) )
713, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  (SubGrp `  Y )
)
7271adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  (SubGrp `  Y
) )
731, 18, 5frlmbasf 26376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
74733ad2antl2 1118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
75 ffn 5427 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : I --> ( Base `  R )  ->  y  Fn  I )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  y  Fn  I )
7739adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  U  Fn  I )
78 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  I  e.  V )
79 inidm 3412 . . . . . . . . 9  |-  ( I  i^i  I )  =  I
8076, 77, 78, 78, 79offn 6131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  o F ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
8156, 80syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  o F ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
8256, 76syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  Fn  I )
8382adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  y  Fn  I )
8439adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  U  Fn  I )
85 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  I  e.  V )
86 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  z  e.  I )
87 fnfvof 6132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  U  Fn  I
)  /\  ( I  e.  V  /\  z  e.  I ) )  -> 
( ( y  o F ( .s `  Y ) U ) `
 z )  =  ( ( y `  z ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) ) )
8883, 84, 85, 86, 87syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y  o F ( .s `  Y
) U ) `  z )  =  ( ( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) ) )
893adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  Y  e.  LMod )
9069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
9154sseli 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  C  ->  y  e.  B )
9291, 74sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
9392adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
9413sselda 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  J )  ->  z  e.  I )
9594adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  z  e.  I )
96 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y : I --> ( Base `  R )  /\  z  e.  I )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  R
) )
9793, 95, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  R
) )
981frlmsca 26369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
99983adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
10099fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
101100adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
10297, 101eleqtrd 2392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
1035, 48lspssid 15791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U " J )  C_  B )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
1043, 67, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
106 funfvima2 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  U  /\  J  C_ 
dom  U )  -> 
( z  e.  J  ->  ( U `  z
)  e.  ( U
" J ) ) )
10741, 44, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
z  e.  J  -> 
( U `  z
)  e.  ( U
" J ) ) )
108107imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  J )  ->  ( U `  z
)  e.  ( U
" J ) )
109108adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U `  z )  e.  ( U " J
) )
110105, 109sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U `  z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
111 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
112 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
113111, 57, 112, 4lssvscl 15761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y
) )  /\  (
( y `  z
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  /\  ( U `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) ) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
11489, 90, 102, 110, 113syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
115114anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
116115adantlrr 701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  z  e.  J )  ->  ( ( y `  z ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) )  e.  ( K `
 ( U " J ) ) )
117 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
) )
118117adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )
)
119118adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C ) )
120 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  z  e.  I )
121 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  -.  z  e.  J )
122 eldif 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( I  \  J )  <->  ( z  e.  I  /\  -.  z  e.  J ) )
123120, 121, 122sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  z  e.  ( I  \  J ) )
124 cnveq 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  `' x  =  `' y
)
125124imaeq1d 5048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  ( `' x " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
126125sseq1d 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' x "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J 
<->  ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J ) )
127126, 7elrab2 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  C  <->  ( y  e.  B  /\  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  J
) )
128127simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  C  ->  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  J
)
129128adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J )
13092, 129suppssr 5697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
)  /\  z  e.  ( I  \  J ) )  ->  ( y `  z )  =  .0.  )
131119, 123, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( y `  z )  =  .0.  )
13299fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
1336, 132syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
134133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
135131, 134eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( y `  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
136135oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y
) ( U `  z ) ) )
1373ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  Y  e.  LMod )
138 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U : I --> B  /\  z  e.  I )  ->  ( U `  z
)  e.  B )
13911, 138sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  I )  ->  ( U `  z
)  e.  B )
140139adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  ( U `  z )  e.  B )
141140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( U `  z )  e.  B
)
142 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)
1435, 111, 57, 142, 60lmod0vs 15712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  z )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  z
) )  =  ( 0g `  Y ) )
144137, 141, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  Y
) ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
145136, 144eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  =  ( 0g `  Y
) )
14669ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( K `  ( U " J
) )  e.  (
LSubSp `  Y ) )
14760, 4lss0cl 15753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)  ->  ( 0g `  Y )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
148137, 146, 147syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( 0g `  Y )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
149145, 148eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
150116, 149pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
15188, 150eqeltrd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y  o F ( .s `  Y
) U ) `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
152151expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( z  e.  I  ->  ( ( y  o F ( .s `  Y ) U ) `
 z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) ) )
153152ralrimiv 2659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  A. z  e.  I 
( ( y  o F ( .s `  Y ) U ) `
 z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
154 ffnfv 5723 . . . . . . 7  |-  ( ( y  o F ( .s `  Y ) U ) : I --> ( K `  ( U " J ) )  <-> 
( ( y  o F ( .s `  Y ) U )  Fn  I  /\  A. z  e.  I  (
( y  o F ( .s `  Y
) U ) `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) ) )
15581, 153, 154sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  o F ( .s `  Y
) U ) : I --> ( K `  ( U " J ) ) )
1561, 6, 5frlmbassup 26374 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
15752, 56, 156syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
158 dffn2 5428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  o F ( .s `  Y ) U )  Fn  I  <->  ( y  o F ( .s `  Y ) U ) : I --> _V )
15980, 158sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  o F ( .s `  Y
) U ) : I --> _V )
16076adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  y  Fn  I
)
16139ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  U  Fn  I
)
162 simpll2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  I  e.  V
)
163 eldifi 3332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( I  \ 
( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  x  e.  I
)
164163adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  x  e.  I
)
165 fnfvof 6132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  U  Fn  I
)  /\  ( I  e.  V  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  o F ( .s `  Y ) U ) `
 x )  =  ( ( y `  x ) ( .s
`  Y ) ( U `  x ) ) )
166160, 161, 162, 164, 165syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) `  x )  =  ( ( y `
 x ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) ) )
167 ssid 3231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )
168167a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
16974, 168suppssr 5697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( y `  x )  =  .0.  )
170133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y
) ) )
171169, 170eqtrd 2348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( y `  x )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
172171oveq1d 5915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( y `
 x ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) ) )
1733ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
17411adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  U : I --> B )
175 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U : I --> B  /\  x  e.  I )  ->  ( U `  x
)  e.  B )
176174, 163, 175syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( U `  x )  e.  B
)
1775, 111, 57, 142, 60lmod0vs 15712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  x )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) )  =  ( 0g `  Y ) )
178173, 176, 177syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( 0g
`  (Scalar `  Y )
) ( .s `  Y ) ( U `
 x ) )  =  ( 0g `  Y ) )
179166, 172, 1783eqtrd 2352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) `  x )  =  ( 0g `  Y ) )
180159, 179suppss 5696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  Y ) } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
18156, 180syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( `' ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  Y ) } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
182 ssfi 7126 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( y  o F ( .s `  Y
) U ) "
( _V  \  {
( 0g `  Y
) } ) ) 
C_  ( `' y
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( `' ( y  o F ( .s `  Y
) U ) "
( _V  \  {
( 0g `  Y
) } ) )  e.  Fin )
183157, 181, 182syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( `' ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  Y ) } ) )  e.  Fin )
18460, 63, 52, 72, 155, 183gsumsubgcl 15251 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( Y  gsumg  ( y  o F ( .s `  Y
) U ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
18559, 184eqeltrd 2390 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  ( K `
 ( U " J ) ) )
186185ex 423 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
y  e.  C  -> 
y  e.  ( K `
 ( U " J ) ) ) )
187186ssrdv 3219 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  C_  ( K `  ( U " J ) ) )
18850, 187eqssd 3230 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   {crab 2581   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   {csn 3674   `'ccnv 4725   dom cdm 4726   ran crn 4727   "cima 4729   Fun wfun 5286    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    o Fcof 6118   Fincfn 6906   Basecbs 13195  Scalarcsca 13258   .scvsca 13259   0gc0g 13449    gsumg cgsu 13450  SubGrpcsubg 14664   Abelcabel 15139   Ringcrg 15386   LModclmod 15676   LSubSpclss 15738   LSpanclspn 15777   freeLMod cfrlm 26360   unitVec cuvc 26361
This theorem is referenced by:  frlmlbs  26397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-hash 11385  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-hom 13279  df-cco 13280  df-prds 13397  df-pws 13399  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-ghm 14730  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-subrg 15592  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lmhm 15828  df-sra 15974  df-rgmod 15975  df-dsmm 26346  df-frlm 26362  df-uvc 26363
  Copyright terms: Public domain W3C validator