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Theorem frlmsslsp 27248
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslsp.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslsp.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
frlmsslsp.k  |-  K  =  ( LSpan `  Y )
frlmsslsp.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslsp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslsp.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
frlmsslsp  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  =  C )
Distinct variable groups:    x, Y    x, U    x, B    x,  .0.    x, R    x, I    x, V    x, J    x, K
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslsp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmsslsp.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
21frlmlmod 27217 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  LMod )
323adant3 975 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Y  e.  LMod )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  ( LSubSp `  Y )  =  (
LSubSp `  Y )
5 frlmsslsp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
6 frlmsslsp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 frlmsslsp.c . . . 4  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J }
81, 4, 5, 6, 7frlmsslss2 27245 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  ( LSubSp `  Y )
)
9 frlmsslsp.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( R unitVec  I )
109, 1, 5uvcff 27240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  U : I --> B )
11103adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  U : I --> B )
1211adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  U : I --> B )
13 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_  I )
1413sselda 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  y  e.  I )
15 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( U : I --> B  /\  y  e.  I )  ->  ( U `  y
)  e.  B )
1612, 14, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
)  e.  B )
17 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  I  e.  V )
18 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
191, 18, 5frlmbasf 27228 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( U `  y )  e.  B )  -> 
( U `  y
) : I --> ( Base `  R ) )
2017, 16, 19syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
) : I --> ( Base `  R ) )
21 simpll1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  R  e.  Ring )
22 simpll2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  I  e.  V )
2314adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  y  e.  I )
24 eldifi 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( I  \  J )  ->  x  e.  I )
2524adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  x  e.  I )
26 disjdif 3526 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  i^i  ( I  \  J ) )  =  (/)
27 disjne 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/)  /\  y  e.  J  /\  x  e.  ( I  \  J
) )  ->  y  =/=  x )
2826, 27mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  -> 
y  =/=  x )
2928adantll 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  y  =/=  x )
309, 21, 22, 23, 25, 29, 6uvcvv0 27239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  ( ( U `  y ) `  x )  =  .0.  )
3120, 30suppss 5658 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( `' ( U `
 y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J )
32 cnveq 4855 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  `' x  =  `' ( U `  y )
)
3332imaeq1d 5011 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  ( `' x " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( U `  y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
3433sseq1d 3205 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  (
( `' x "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J 
<->  ( `' ( U `
 y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J ) )
3534, 7elrab2 2925 . . . . . 6  |-  ( ( U `  y )  e.  C  <->  ( ( U `  y )  e.  B  /\  ( `' ( U `  y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  J
) )
3616, 31, 35sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
)  e.  C )
3736ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C
)
38 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( U : I --> B  ->  U  Fn  I )
3911, 38syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  U  Fn  I )
40 fnfun 5341 . . . . . 6  |-  ( U  Fn  I  ->  Fun  U )
4139, 40syl 15 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Fun  U )
42 fndm 5343 . . . . . . 7  |-  ( U  Fn  I  ->  dom  U  =  I )
4339, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  dom  U  =  I )
4413, 43sseqtr4d 3215 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_ 
dom  U )
45 funimass4 5573 . . . . 5  |-  ( ( Fun  U  /\  J  C_ 
dom  U )  -> 
( ( U " J )  C_  C  <->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C ) )
4641, 44, 45syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
( U " J
)  C_  C  <->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C
) )
4737, 46mpbird 223 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  C )
48 frlmsslsp.k . . . 4  |-  K  =  ( LSpan `  Y )
494, 48lspssp 15745 . . 3  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  C  e.  ( LSubSp `  Y )  /\  ( U " J
)  C_  C )  ->  ( K `  ( U " J ) ) 
C_  C )
503, 8, 47, 49syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  C_  C )
51 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  R  e.  Ring )
52 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  I  e.  V )
53 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  J }  C_  B
547, 53eqsstri 3208 . . . . . . . 8  |-  C  C_  B
5554a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  C_  B )
5655sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  B )
57 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
589, 1, 5, 57uvcresum 27242 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( Y  gsumg  ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) ) )
5951, 52, 56, 58syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  =  ( Y 
gsumg  ( y  o F ( .s `  Y
) U ) ) )
60 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
61 lmodabl 15672 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  LMod  ->  Y  e. 
Abel )
623, 61syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Y  e.  Abel )
6362adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  Y  e.  Abel )
64 imassrn 5025 . . . . . . . . . 10  |-  ( U
" J )  C_  ran  U
65 frn 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U : I --> B  ->  ran  U  C_  B )
6611, 65syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ran  U 
C_  B )
6764, 66syl5ss 3190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  B )
685, 4, 48lspcl 15733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U " J )  C_  B )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
693, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
704lsssubg 15714 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)  ->  ( K `  ( U " J
) )  e.  (SubGrp `  Y ) )
713, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  (SubGrp `  Y )
)
7271adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  (SubGrp `  Y
) )
731, 18, 5frlmbasf 27228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
74733ad2antl2 1118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
75 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : I --> ( Base `  R )  ->  y  Fn  I )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  y  Fn  I )
7739adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  U  Fn  I )
78 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  I  e.  V )
79 inidm 3378 . . . . . . . . 9  |-  ( I  i^i  I )  =  I
8076, 77, 78, 78, 79offn 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  o F ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
8156, 80syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  o F ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
8256, 76syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  Fn  I )
8382adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  y  Fn  I )
8439adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  U  Fn  I )
85 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  I  e.  V )
86 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  z  e.  I )
87 fnfvof 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  U  Fn  I
)  /\  ( I  e.  V  /\  z  e.  I ) )  -> 
( ( y  o F ( .s `  Y ) U ) `
 z )  =  ( ( y `  z ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) ) )
8883, 84, 85, 86, 87syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y  o F ( .s `  Y
) U ) `  z )  =  ( ( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) ) )
893adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  Y  e.  LMod )
9069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
9154sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  C  ->  y  e.  B )
9291, 74sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
9392adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
9413sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  J )  ->  z  e.  I )
9594adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  z  e.  I )
96 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y : I --> ( Base `  R )  /\  z  e.  I )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  R
) )
9793, 95, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  R
) )
981frlmsca 27221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
99983adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
10099fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
101100adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
10297, 101eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
1035, 48lspssid 15742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U " J )  C_  B )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
1043, 67, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
106 funfvima2 5754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  U  /\  J  C_ 
dom  U )  -> 
( z  e.  J  ->  ( U `  z
)  e.  ( U
" J ) ) )
10741, 44, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
z  e.  J  -> 
( U `  z
)  e.  ( U
" J ) ) )
108107imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  J )  ->  ( U `  z
)  e.  ( U
" J ) )
109108adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U `  z )  e.  ( U " J
) )
110105, 109sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U `  z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
111 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
112 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
113111, 57, 112, 4lssvscl 15712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y
) )  /\  (
( y `  z
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  /\  ( U `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) ) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
11489, 90, 102, 110, 113syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
115114anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
116115adantlrr 701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  z  e.  J )  ->  ( ( y `  z ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) )  e.  ( K `
 ( U " J ) ) )
117 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
) )
118117adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )
)
119118adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C ) )
120 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  z  e.  I )
121 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  -.  z  e.  J )
122 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( I  \  J )  <->  ( z  e.  I  /\  -.  z  e.  J ) )
123120, 121, 122sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  z  e.  ( I  \  J ) )
124 cnveq 4855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  `' x  =  `' y
)
125124imaeq1d 5011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  ( `' x " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
126125sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' x "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J 
<->  ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J ) )
127126, 7elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  C  <->  ( y  e.  B  /\  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  J
) )
128127simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  C  ->  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  J
)
129128adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J )
13092, 129suppssr 5659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
)  /\  z  e.  ( I  \  J ) )  ->  ( y `  z )  =  .0.  )
131119, 123, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( y `  z )  =  .0.  )
13299fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
1336, 132syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
134133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
135131, 134eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( y `  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
136135oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y
) ( U `  z ) ) )
1373ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  Y  e.  LMod )
138 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U : I --> B  /\  z  e.  I )  ->  ( U `  z
)  e.  B )
13911, 138sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  I )  ->  ( U `  z
)  e.  B )
140139adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  ( U `  z )  e.  B )
141140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( U `  z )  e.  B
)
142 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)
1435, 111, 57, 142, 60lmod0vs 15663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  z )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  z
) )  =  ( 0g `  Y ) )
144137, 141, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  Y
) ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
145136, 144eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  =  ( 0g `  Y
) )
14669ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( K `  ( U " J
) )  e.  (
LSubSp `  Y ) )
14760, 4lss0cl 15704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)  ->  ( 0g `  Y )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
148137, 146, 147syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( 0g `  Y )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
149145, 148eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
150116, 149pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
15188, 150eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y  o F ( .s `  Y
) U ) `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
152151expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( z  e.  I  ->  ( ( y  o F ( .s `  Y ) U ) `
 z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) ) )
153152ralrimiv 2625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  A. z  e.  I 
( ( y  o F ( .s `  Y ) U ) `
 z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
154 ffnfv 5685 . . . . . . 7  |-  ( ( y  o F ( .s `  Y ) U ) : I --> ( K `  ( U " J ) )  <-> 
( ( y  o F ( .s `  Y ) U )  Fn  I  /\  A. z  e.  I  (
( y  o F ( .s `  Y
) U ) `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) ) )
15581, 153, 154sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  o F ( .s `  Y
) U ) : I --> ( K `  ( U " J ) ) )
1561, 6, 5frlmbassup 27226 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
15752, 56, 156syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
158 dffn2 5390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  o F ( .s `  Y ) U )  Fn  I  <->  ( y  o F ( .s `  Y ) U ) : I --> _V )
15980, 158sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  o F ( .s `  Y
) U ) : I --> _V )
16076adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  y  Fn  I
)
16139ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  U  Fn  I
)
162 simpll2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  I  e.  V
)
163 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( I  \ 
( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  x  e.  I
)
164163adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  x  e.  I
)
165 fnfvof 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  U  Fn  I
)  /\  ( I  e.  V  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  o F ( .s `  Y ) U ) `
 x )  =  ( ( y `  x ) ( .s
`  Y ) ( U `  x ) ) )
166160, 161, 162, 164, 165syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) `  x )  =  ( ( y `
 x ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) ) )
167 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )
168167a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
16974, 168suppssr 5659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( y `  x )  =  .0.  )
170133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y
) ) )
171169, 170eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( y `  x )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
172171oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( y `
 x ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) ) )
1733ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
17411adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  U : I --> B )
175 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U : I --> B  /\  x  e.  I )  ->  ( U `  x
)  e.  B )
176174, 163, 175syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( U `  x )  e.  B
)
1775, 111, 57, 142, 60lmod0vs 15663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  x )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) )  =  ( 0g `  Y ) )
178173, 176, 177syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( 0g
`  (Scalar `  Y )
) ( .s `  Y ) ( U `
 x ) )  =  ( 0g `  Y ) )
179166, 172, 1783eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) `  x )  =  ( 0g `  Y ) )
180159, 179suppss 5658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  Y ) } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
18156, 180syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( `' ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  Y ) } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
182 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( y  o F ( .s `  Y
) U ) "
( _V  \  {
( 0g `  Y
) } ) ) 
C_  ( `' y
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( `' ( y  o F ( .s `  Y
) U ) "
( _V  \  {
( 0g `  Y
) } ) )  e.  Fin )
183157, 181, 182syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( `' ( y  o F ( .s
`  Y ) U ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  Y ) } ) )  e.  Fin )
18460, 63, 52, 72, 155, 183gsumsubgcl 15202 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( Y  gsumg  ( y  o F ( .s `  Y
) U ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
18559, 184eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  ( K `
 ( U " J ) ) )
186185ex 423 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
y  e.  C  -> 
y  e.  ( K `
 ( U " J ) ) ) )
187186ssrdv 3185 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  C_  ( K `  ( U " J ) ) )
18850, 187eqssd 3196 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Fincfn 6863   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401  SubGrpcsubg 14615   Abelcabel 15090   Ringcrg 15337   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   freeLMod cfrlm 27212   unitVec cuvc 27213
This theorem is referenced by:  frlmlbs  27249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lmhm 15779  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-dsmm 27198  df-frlm 27214  df-uvc 27215
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