Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmsslss Unicode version

Theorem frlmsslss 27244
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule.  J is the set of forbidden unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslss.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslss.u  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
frlmsslss.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslss.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslss.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } ) }
Assertion
Ref Expression
frlmsslss  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, J    x, R    x, U    x,  .0.    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslss
StepHypRef Expression
1 frlmsslss.c . . 3  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } ) }
2 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  R  e.  Ring )
3 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_  I )
4 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  I  e.  V )
5 ssexg 4160 . . . . . . 7  |-  ( ( J  C_  I  /\  I  e.  V )  ->  J  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  e.  _V )
7 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( R freeLMod  J )  =  ( R freeLMod  J )
8 frlmsslss.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
97, 8frlm0 27222 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  J  e.  _V )  ->  ( J  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) ) )
102, 6, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( J  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) ) )
1110eqeq2d 2294 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
( x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } )  <->  ( x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) ) )
1211rabbidv 2780 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } ) }  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
131, 12syl5eq 2327 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
14 frlmsslss.y . . . 4  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
15 frlmsslss.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
16 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  ( R freeLMod  J )
)  =  ( Base `  ( R freeLMod  J )
)
17 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J ) )
1814, 7, 15, 16, 17frlmsplit2 27243 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
)  e.  ( Y LMHom 
( R freeLMod  J )
) )
19 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) )  e.  _V
2017mptiniseg 5167 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  ( R freeLMod  J ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
) " { ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )  =  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
2119, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J ) ) " { ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )  =  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }
2221eqcomi 2287 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }  =  ( `' ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
) " { ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
23 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) )  =  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) )
24 frlmsslss.u . . . 4  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
2522, 23, 24lmhmkerlss 15808 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
)  e.  ( Y LMHom 
( R freeLMod  J )
)  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }  e.  U )
2618, 25syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }  e.  U )
2713, 26eqeltrd 2357 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Ringcrg 15337   LSubSpclss 15689   LMHom clmhm 15776   freeLMod cfrlm 27212
This theorem is referenced by:  frlmsslss2  27245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lmhm 15779  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-dsmm 27198  df-frlm 27214
  Copyright terms: Public domain W3C validator