Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmsslss Unicode version

Theorem frlmsslss 27347
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule.  J is the set of forbidden unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslss.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslss.u  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
frlmsslss.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslss.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslss.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } ) }
Assertion
Ref Expression
frlmsslss  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, J    x, R    x, U    x,  .0.    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslss
StepHypRef Expression
1 frlmsslss.c . . 3  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } ) }
2 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  R  e.  Ring )
3 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_  I )
4 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  I  e.  V )
5 ssexg 4176 . . . . . . 7  |-  ( ( J  C_  I  /\  I  e.  V )  ->  J  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  e.  _V )
7 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( R freeLMod  J )  =  ( R freeLMod  J )
8 frlmsslss.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
97, 8frlm0 27325 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  J  e.  _V )  ->  ( J  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) ) )
102, 6, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( J  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) ) )
1110eqeq2d 2307 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
( x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } )  <->  ( x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) ) )
1211rabbidv 2793 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } ) }  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
131, 12syl5eq 2340 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
14 frlmsslss.y . . . 4  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
15 frlmsslss.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
16 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  ( R freeLMod  J )
)  =  ( Base `  ( R freeLMod  J )
)
17 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J ) )
1814, 7, 15, 16, 17frlmsplit2 27346 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
)  e.  ( Y LMHom 
( R freeLMod  J )
) )
19 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) )  e.  _V
2017mptiniseg 5183 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  ( R freeLMod  J ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
) " { ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )  =  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
2119, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J ) ) " { ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )  =  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }
2221eqcomi 2300 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }  =  ( `' ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
) " { ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
23 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) )  =  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) )
24 frlmsslss.u . . . 4  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
2522, 23, 24lmhmkerlss 15824 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
)  e.  ( Y LMHom 
( R freeLMod  J )
)  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }  e.  U )
2618, 25syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }  e.  U )
2713, 26eqeltrd 2370 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704    |` cres 4707   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   0gc0g 13416   Ringcrg 15353   LSubSpclss 15705   LMHom clmhm 15792   freeLMod cfrlm 27315
This theorem is referenced by:  frlmsslss2  27348
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lmhm 15795  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-dsmm 27301  df-frlm 27317
  Copyright terms: Public domain W3C validator