Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmsslss2 Unicode version

Theorem frlmsslss2 26751
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule.  J is the set of permitted unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslss.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslss.u  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
frlmsslss.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslss.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslss2.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
frlmsslss2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, J    x, R    x, U    x,  .0.    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslss2
StepHypRef Expression
1 frlmsslss2.c . . 3  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J }
2 frlmsslss.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
3 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 frlmsslss.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4frlmbasf 26734 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
653ad2antl2 1119 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
7 ffn 5495 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> ( Base `  R )  ->  x  Fn  I )
86, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  I )
9 simpl3 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  J  C_  I )
10 undif 3623 . . . . . . . 8  |-  ( J 
C_  I  <->  ( J  u.  ( I  \  J
) )  =  I )
119, 10sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( J  u.  (
I  \  J )
)  =  I )
1211fneq2d 5441 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) )  <->  x  Fn  I ) )
138, 12mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) ) )
14 disjdif 3615 . . . . . 6  |-  ( J  i^i  ( I  \  J ) )  =  (/)
1514a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/) )
16 frlmsslss.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
17 fvex 5646 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1816, 17eqeltri 2436 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
1918a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  .0.  e.  _V )
20 fnsuppres 5852 . . . . 5  |-  ( ( x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) )  /\  ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/)  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( `' x "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J 
<->  ( x  |`  (
I  \  J )
)  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) ) )
2113, 15, 19, 20syl3anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J 
<->  ( x  |`  (
I  \  J )
)  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) ) )
2221rabbidva 2864 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  J }  =  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) } )
231, 22syl5eq 2410 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) } )
24 difss 3390 . . . 4  |-  ( I 
\  J )  C_  I
2524a1i 10 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
I  \  J )  C_  I )
26 frlmsslss.u . . . 4  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
27 eqid 2366 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) }
282, 26, 4, 16, 27frlmsslss 26750 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  (
I  \  J )  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  e.  U )
2925, 28syld3an3 1228 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  e.  U )
3023, 29eqeltrd 2440 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   {crab 2632   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    u. cun 3236    i^i cin 3237    C_ wss 3238   (/)c0 3543   {csn 3729    X. cxp 4790   `'ccnv 4791    |` cres 4794   "cima 4795    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   0gc0g 13610   Ringcrg 15547   LSubSpclss 15899   freeLMod cfrlm 26718
This theorem is referenced by:  frlmssuvc1  26752  frlmsslsp  26754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-hom 13440  df-cco 13441  df-prds 13558  df-pws 13560  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lmhm 15989  df-sra 16135  df-rgmod 16136  df-dsmm 26704  df-frlm 26720
  Copyright terms: Public domain W3C validator