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Theorem frlmup1 27227
Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmup.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
frlmup.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
frlmup.v  |-  .x.  =  ( .s `  T )
frlmup.e  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) ) )
frlmup.t  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
frlmup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
frlmup.r  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
frlmup.a  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
Assertion
Ref Expression
frlmup1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, I    x, F    x, B    x, C    x,  .x.    x, A    x, X    ph, x    x, T
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem frlmup1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.b . 2  |-  B  =  ( Base `  F
)
2 eqid 2436 . 2  |-  ( .s
`  F )  =  ( .s `  F
)
3 frlmup.v . 2  |-  .x.  =  ( .s `  T )
4 eqid 2436 . 2  |-  (Scalar `  F )  =  (Scalar `  F )
5 eqid 2436 . 2  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
6 eqid 2436 . 2  |-  ( Base `  (Scalar `  F )
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
)
7 frlmup.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
8 frlmup.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
95lmodrng 15958 . . . . 5  |-  ( T  e.  LMod  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
117, 10eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 frlmup.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
13 frlmup.f . . . 4  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
1413frlmlmod 27194 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  F  e.  LMod )
1511, 12, 14syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  LMod )
1613frlmsca 27198 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  R  =  (Scalar `  F )
)
1711, 12, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  F ) )
187, 17eqtr3d 2470 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  F )
)
19 frlmup.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  T
)
20 eqid 2436 . . 3  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
21 eqid 2436 . . 3  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
22 lmodgrp 15957 . . . 4  |-  ( F  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
2315, 22syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
24 lmodgrp 15957 . . . 4  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. 
Grp )
258, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  Grp )
26 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  B  <->  x  e.  B ) )
2726anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ph  /\  z  e.  B )  <->  ( ph  /\  x  e.  B ) ) )
28 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  o F  .x.  A )  =  ( x  o F  .x.  A ) )
2928oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  o F  .x.  A
) ) )
3029eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) )  e.  C  <->  ( T  gsumg  ( x  o F  .x.  A ) )  e.  C ) )
3127, 30imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) )  e.  C )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  B
)  ->  ( T  gsumg  ( x  o F  .x.  A ) )  e.  C ) ) )
32 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
33 lmodcmn 15992 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. CMnd
)
348, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
3534adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  T  e. CMnd )
3612adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  I  e.  X )
378ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  T  e.  LMod )
38 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  R ) )
397fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
4039ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
4138, 40eleqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
42 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
y  e.  C )
43 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
4419, 5, 3, 43lmodvscl 15967 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) )  /\  y  e.  C )  ->  ( x  .x.  y
)  e.  C )
4537, 41, 42, 44syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  C )
46 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4713, 46, 1frlmbasf 27205 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  X  /\  z  e.  B )  ->  z : I --> ( Base `  R ) )
4812, 47sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z : I --> ( Base `  R ) )
49 frlmup.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
5049adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  A : I --> C )
51 inidm 3550 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
5245, 48, 50, 36, 36, 51off 6320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  o F  .x.  A ) : I --> C )
537fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
) )
5453sneqd 3827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )
5554difeq2d 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
( 0g `  R
) } )  =  ( _V  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )
5655imaeq2d 5203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' z "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' z
" ( _V  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) )
5756adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) )
58 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5913, 58, 1frlmbassup 27203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  X  /\  z  e.  B )  ->  ( `' z "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin )
6012, 59sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
6157, 60eqeltrrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) )  e.  Fin )
62 ffn 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z : I --> ( Base `  R )  ->  z  Fn  I )
6348, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  Fn  I )
6463adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  z  Fn  I )
65 ffn 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A : I --> C  ->  A  Fn  I )
6649, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  Fn  I )
6766ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  A  Fn  I )
6812ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  I  e.  X )
69 eldifi 3469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( I  \ 
( `' z "
( _V  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) )  ->  x  e.  I )
7069adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  x  e.  I )
71 fnfvof 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( z  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
7264, 67, 68, 70, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x )  =  ( ( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) )
73 ssid 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' z " ( _V 
\  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) 
C_  ( `' z
" ( _V  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )
7473a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) 
C_  ( `' z
" ( _V  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) )
7548, 74suppssr 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  (
z `  x )  =  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) )
7675oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  (
( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  T ) ) 
.x.  ( A `  x ) ) )
778ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  T  e.  LMod )
78 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : I --> C  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x
)  e.  C )
7950, 69, 78syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  ( A `  x )  e.  C )
80 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
8119, 5, 3, 80, 32lmod0vs 15983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  ( A `  x )  e.  C )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  T ) )  .x.  ( A `  x ) )  =  ( 0g
`  T ) )
8277, 79, 81syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  T ) )  .x.  ( A `  x ) )  =  ( 0g
`  T ) )
8372, 76, 823eqtrd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x )  =  ( 0g `  T ) )
8452, 83suppss 5863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' ( z  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  C_  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) )
85 ssfi 7329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' z "
( _V  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( z  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  C_  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) )  ->  ( `' ( z  o F 
.x.  A ) "
( _V  \  {
( 0g `  T
) } ) )  e.  Fin )
8661, 84, 85syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' ( z  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
8719, 32, 35, 36, 52, 86gsumcl 15521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) )  e.  C )
8831, 87chvarv 1969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  e.  C )
89 frlmup.e . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) ) )
9088, 89fmptd 5893 . . 3  |-  ( ph  ->  E : B --> C )
9134adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  T  e. CMnd )
9212adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
93 eleq1 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  B  <->  y  e.  B ) )
9493anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( ph  /\  z  e.  B )  <->  ( ph  /\  y  e.  B ) ) )
95 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  o F  .x.  A )  =  ( y  o F  .x.  A ) )
9695feq1d 5580 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  o F 
.x.  A ) : I --> C  <->  ( y  o F  .x.  A ) : I --> C ) )
9794, 96imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( z  o F 
.x.  A ) : I --> C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  B
)  ->  ( y  o F  .x.  A ) : I --> C ) ) )
9897, 52chvarv 1969 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  o F  .x.  A ) : I --> C )
9998adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  o F 
.x.  A ) : I --> C )
10052adantrl 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( z  o F 
.x.  A ) : I --> C )
10195cnveqd 5048 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  `' ( z  o F 
.x.  A )  =  `' ( y  o F  .x.  A ) )
102101imaeq1d 5202 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( `' ( z  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  =  ( `' ( y  o F 
.x.  A ) "
( _V  \  {
( 0g `  T
) } ) ) )
103102eleq1d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( `' ( z  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' ( y  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
)
10494, 103imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' ( z  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin ) 
<->  ( ( ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( y  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin ) ) )
105104, 86chvarv 1969 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( y  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
106105adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( `' ( y  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin )
10786adantrl 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( `' ( z  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin )
10819, 32, 21, 91, 92, 99, 100, 106, 107gsumadd 15528 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T ) ( z  o F  .x.  A
) ) )  =  ( ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A
) ) ( +g  `  T ) ( T 
gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) ) )
1091, 20lmodvacl 15964 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
y ( +g  `  F
) z )  e.  B )
1101093expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( +g  `  F ) z )  e.  B
)
11115, 110sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  F ) z )  e.  B )
112 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  F ) z )  ->  (
x  o F  .x.  A )  =  ( ( y ( +g  `  F ) z )  o F  .x.  A
) )
113112oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  F ) z )  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F
) z )  o F  .x.  A ) ) )
114 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  o F 
.x.  A ) )  e.  _V
115113, 89, 114fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  F
) z )  e.  B  ->  ( E `  ( y ( +g  `  F ) z ) )  =  ( T 
gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  o F 
.x.  A ) ) )
116111, 115syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F
) z )  o F  .x.  A ) ) )
11711adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
118 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
119 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  e.  B )
120 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
12113, 1, 117, 92, 118, 119, 120, 20frlmplusgval 27206 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  F ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  R
) z ) )
122121oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  F ) z )  o F 
.x.  A )  =  ( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A ) )
12313, 46, 1frlmbasf 27205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  X  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
12412, 123sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
125124adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y : I --> ( Base `  R ) )
126 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> ( Base `  R )  ->  y  Fn  I )
127125, 126syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  Fn  I )
12848adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z : I --> ( Base `  R ) )
129128, 62syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  Fn  I )
130127, 129, 92, 92, 51offn 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  o F ( +g  `  R
) z )  Fn  I )
13166adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A  Fn  I )
132130, 131, 92, 92, 51offn 6316 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A )  Fn  I )
133 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  o F  .x.  A ) : I --> C  ->  ( y  o F  .x.  A )  Fn  I )
13498, 133syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  o F  .x.  A )  Fn  I
)
135134adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  o F 
.x.  A )  Fn  I )
136 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  o F  .x.  A ) : I --> C  ->  ( z  o F  .x.  A )  Fn  I )
13752, 136syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  o F  .x.  A )  Fn  I
)
138137adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( z  o F 
.x.  A )  Fn  I )
139135, 138, 92, 92, 51offn 6316 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T ) ( z  o F  .x.  A
) )  Fn  I
)
1407fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  (Scalar `  T )
) )
141140ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (Scalar `  T ) ) )
142141oveqd 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) )  =  ( ( y `  x ) ( +g  `  (Scalar `  T )
) ( z `  x ) ) )
143142oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `
 x ) ( +g  `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) ) )
1448ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  T  e.  LMod )
145125ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  ( Base `  R
) )
14639ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
147145, 146eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
148128ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  R
) )
149148, 146eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
15049adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A : I --> C )
151150ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x )  e.  C )
152 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  (Scalar `  T )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  T )
)
15319, 21, 5, 3, 43, 152lmodvsdir 15974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  (
( y `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
)  /\  ( z `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  /\  ( A `  x )  e.  C ) )  -> 
( ( ( y `
 x ) ( +g  `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( ( ( y `  x ) 
.x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
154144, 147, 149, 151, 153syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  (Scalar `  T )
) ( z `  x ) )  .x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
155143, 154eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T
) ( ( z `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ) )
156127adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  y  Fn  I )
157129adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  z  Fn  I )
15812ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  X )
159 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
160 fnfvof 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  z  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  o F ( +g  `  R
) z ) `  x )  =  ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) ) )
161156, 157, 158, 159, 160syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y  o F ( +g  `  R
) z ) `  x )  =  ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) ) )
162161oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F ( +g  `  R
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) )  .x.  ( A `  x ) ) )
16366ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  A  Fn  I )
164 fnfvof 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( y `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
165156, 163, 158, 159, 164syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y  o F 
.x.  A ) `  x )  =  ( ( y `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) )
166157, 163, 158, 159, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x )  =  ( ( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) )
167165, 166oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F  .x.  A ) `
 x ) ( +g  `  T ) ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) )  =  ( ( ( y `  x ) 
.x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
168155, 162, 1673eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F ( +g  `  R
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( ( y  o F 
.x.  A ) `  x ) ( +g  `  T ) ( ( z  o F  .x.  A ) `  x
) ) )
169130adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y  o F ( +g  `  R ) z )  Fn  I
)
170 fnfvof 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  Fn  I  /\  A  Fn  I )  /\  (
I  e.  X  /\  x  e.  I )
)  ->  ( (
( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  o F ( +g  `  R ) z ) `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) )
171169, 163, 158, 159, 170syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  o F ( +g  `  R ) z ) `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) )
172135adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y  o F  .x.  A )  Fn  I
)
173138adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z  o F  .x.  A )  Fn  I
)
174 fnfvof 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  o F  .x.  A )  Fn  I  /\  (
z  o F  .x.  A )  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( ( y  o F  .x.  A
)  o F ( +g  `  T ) ( z  o F 
.x.  A ) ) `
 x )  =  ( ( ( y  o F  .x.  A
) `  x )
( +g  `  T ) ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) ) )
175172, 173, 158, 159, 174syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T ) ( z  o F  .x.  A
) ) `  x
)  =  ( ( ( y  o F 
.x.  A ) `  x ) ( +g  `  T ) ( ( z  o F  .x.  A ) `  x
) ) )
176168, 171, 1753eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  o F  .x.  A
)  o F ( +g  `  T ) ( z  o F 
.x.  A ) ) `
 x ) )
177132, 139, 176eqfnfvd 5830 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A )  =  ( ( y  o F  .x.  A
)  o F ( +g  `  T ) ( z  o F 
.x.  A ) ) )
178122, 177eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  F ) z )  o F 
.x.  A )  =  ( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T ) ( z  o F  .x.  A
) ) )
179178oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T
) ( z  o F  .x.  A ) ) ) )
180116, 179eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T
) ( z  o F  .x.  A ) ) ) )
181 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  o F  .x.  A )  =  ( y  o F  .x.  A ) )
182181oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A
) ) )
183 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) )  e.  _V
184182, 89, 183fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  ( E `  y )  =  ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A
) ) )
185184ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( T 
gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) ) )
186 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  o F  .x.  A )  =  ( z  o F  .x.  A ) )
187186oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( z  o F  .x.  A
) ) )
188 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) )  e.  _V
189187, 89, 188fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( z  e.  B  ->  ( E `  z )  =  ( T  gsumg  ( z  o F  .x.  A
) ) )
190189ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  z
)  =  ( T 
gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) )
191185, 190oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( E `  y ) ( +g  `  T ) ( E `
 z ) )  =  ( ( T 
gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) ) ( +g  `  T
) ( T  gsumg  ( z  o F  .x.  A
) ) ) )
192108, 180, 1913eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( ( E `
 y ) ( +g  `  T ) ( E `  z
) ) )
1931, 19, 20, 21, 23, 25, 90, 192isghmd 15015 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F 
GrpHom  T ) )
1948adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  T  e.  LMod )
19512adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  I  e.  X )
19618fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  T ) )  =  ( Base `  (Scalar `  F ) ) )
197196eleq2d 2503 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  <->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) ) )
198197biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
199198adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  T
) ) )
20052adantrl 697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( z  o F  .x.  A ) : I --> C )
201200ffvelrnda 5870 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x )  e.  C )
20252feqmptd 5779 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  o F  .x.  A )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F 
.x.  A ) `  x ) ) )
203202cnveqd 5048 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  `' ( z  o F 
.x.  A )  =  `' ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A
) `  x )
) )
204203imaeq1d 5202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' ( z  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  =  ( `' ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) ) )
205204, 86eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A
) `  x )
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin )
206205adantrl 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
20719, 5, 43, 32, 21, 3, 194, 195, 199, 201, 206gsumvsmul 26745 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  ( ( z  o F  .x.  A ) `  x
) ) ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) ) ) ) )
20815adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  F  e.  LMod )
209 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) )
210 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
2111, 4, 2, 6lmodvscl 15967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( .s
`  F ) z )  e.  B )
212208, 209, 210, 211syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z )  e.  B )
21313, 46, 1frlmbasf 27205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  X  /\  ( y ( .s
`  F ) z )  e.  B )  ->  ( y ( .s `  F ) z ) : I --> ( Base `  R
) )
214195, 212, 213syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z ) : I --> ( Base `  R
) )
215 ffn 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( .s `  F ) z ) : I --> ( Base `  R )  ->  (
y ( .s `  F ) z )  Fn  I )
216214, 215syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z )  Fn  I )
21766adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  A  Fn  I )
218216, 217, 195, 195, 51offn 6316 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
)  Fn  I )
219 dffn2 5592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A )  Fn  I  <->  ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) : I --> _V )
220218, 219sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
) : I --> _V )
221220feqmptd 5779 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) `  x
) ) )
2227fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
) )
223222ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
) )
224223oveqd 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y ( .r
`  R ) ( z `  x ) )  =  ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) ) )
225224oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
) )
2268ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  T  e.  LMod )
227 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
228196ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  T ) )  =  ( Base `  (Scalar `  F ) ) )
229227, 228eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
23048ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  R
) )
23139ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
232230, 231eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
233232adantlrl 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( z `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
23449ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x )  e.  C )
235234adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x
)  e.  C )
236 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  (Scalar `  T )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
)
23719, 5, 3, 43, 236lmodvsass 15975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
)  /\  ( z `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  /\  ( A `  x )  e.  C ) )  -> 
( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( y  .x.  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
238226, 229, 233, 235, 237syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( y  .x.  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
239225, 238eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( y 
.x.  ( ( z `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ) )
240216adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y ( .s
`  F ) z )  Fn  I )
24166ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  A  Fn  I )
24212ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  X )
243 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
244 fnfvof 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y ( .s `  F ) z )  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( ( y ( .s `  F
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
245240, 241, 242, 243, 244syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
24617fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
247246ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
248227, 247eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  R ) )
249 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  z  e.  B )
250 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
25113, 1, 46, 242, 248, 249, 243, 2, 250frlmvscaval 27208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .s `  F ) z ) `  x
)  =  ( y ( .r `  R
) ( z `  x ) ) )
252251oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( y ( .r `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) ) )
253245, 252eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
) )
25463adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  z  Fn  I )
255254adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  z  Fn  I )
256255, 241, 242, 243, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
257256oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y  .x.  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x ) )  =  ( y  .x.  (
( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) ) )
258239, 253, 2573eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( y  .x.  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x ) ) )
259258mpteq2dva 4295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) `  x
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  ( ( z  o F  .x.  A ) `  x
) ) ) )
260221, 259eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
)  =  ( x  e.  I  |->  ( y 
.x.  ( ( z  o F  .x.  A
) `  x )
) ) )
261260oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x ) ) ) ) )
262200feqmptd 5779 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( z  o F  .x.  A )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A
) `  x )
) )
263262oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( z  o F  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) ) ) )
264263oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) )  =  ( y 
.x.  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A ) `  x
) ) ) ) )
265207, 261, 2643eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) ) )
266 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( .s `  F ) z )  ->  (
x  o F  .x.  A )  =  ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) )
267266oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( .s `  F ) z )  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
) ) )
268 ovex 6106 . . . . 5  |-  ( T 
gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  o F 
.x.  A ) )  e.  _V
269267, 89, 268fvmpt 5806 . . . 4  |-  ( ( y ( .s `  F ) z )  e.  B  ->  ( E `  ( y
( .s `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
) ) )
270212, 269syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( E `  ( y ( .s
`  F ) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  o F 
.x.  A ) ) )
271189oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( z  e.  B  ->  (
y  .x.  ( E `  z ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) ) )
272271ad2antll 710 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  .x.  ( E `  z
) )  =  ( y  .x.  ( T 
gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) ) )
273265, 270, 2723eqtr4d 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( E `  ( y ( .s
`  F ) z ) )  =  ( y  .x.  ( E `
 z ) ) )
2741, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 193, 273islmhmd 16115 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   {csn 3814    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   Fincfn 7109   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723    gsumg cgsu 13724   Grpcgrp 14685  CMndccmn 15412   Ringcrg 15660   LModclmod 15950   LMHom clmhm 16095   freeLMod cfrlm 27189
This theorem is referenced by:  frlmup3  27229  frlmup4  27230  islindf5  27286  indlcim  27287  lnrfg  27300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lmhm 16098  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-dsmm 27175  df-frlm 27191
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