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Theorem frlmup1 27353
Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmup.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
frlmup.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
frlmup.v  |-  .x.  =  ( .s `  T )
frlmup.e  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) ) )
frlmup.t  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
frlmup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
frlmup.r  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
frlmup.a  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
Assertion
Ref Expression
frlmup1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, I    x, F    x, B    x, C    x,  .x.    x, A    x, X    ph, x    x, T
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem frlmup1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.b . 2  |-  B  =  ( Base `  F
)
2 eqid 2296 . 2  |-  ( .s
`  F )  =  ( .s `  F
)
3 frlmup.v . 2  |-  .x.  =  ( .s `  T )
4 eqid 2296 . 2  |-  (Scalar `  F )  =  (Scalar `  F )
5 eqid 2296 . 2  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
6 eqid 2296 . 2  |-  ( Base `  (Scalar `  F )
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
)
7 frlmup.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
8 frlmup.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
95lmodrng 15651 . . . . 5  |-  ( T  e.  LMod  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
117, 10eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 frlmup.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
13 frlmup.f . . . 4  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
1413frlmlmod 27320 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  F  e.  LMod )
1511, 12, 14syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  LMod )
1613frlmsca 27324 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  R  =  (Scalar `  F )
)
1711, 12, 16syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  F ) )
187, 17eqtr3d 2330 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  F )
)
19 frlmup.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  T
)
20 eqid 2296 . . 3  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
21 eqid 2296 . . 3  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
22 lmodgrp 15650 . . . 4  |-  ( F  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
2315, 22syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
24 lmodgrp 15650 . . . 4  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. 
Grp )
258, 24syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  Grp )
26 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  B  <->  x  e.  B ) )
2726anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ph  /\  z  e.  B )  <->  ( ph  /\  x  e.  B ) ) )
28 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  o F  .x.  A )  =  ( x  o F  .x.  A ) )
2928oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  o F  .x.  A
) ) )
3029eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) )  e.  C  <->  ( T  gsumg  ( x  o F  .x.  A ) )  e.  C ) )
3127, 30imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) )  e.  C )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  B
)  ->  ( T  gsumg  ( x  o F  .x.  A ) )  e.  C ) ) )
32 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
33 lmodcmn 15689 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. CMnd
)
348, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
3534adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  T  e. CMnd )
3612adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  I  e.  X )
378ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  T  e.  LMod )
38 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  R ) )
397fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
4138, 40eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
42 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
y  e.  C )
43 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
4419, 5, 3, 43lmodvscl 15660 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) )  /\  y  e.  C )  ->  ( x  .x.  y
)  e.  C )
4537, 41, 42, 44syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  C )
46 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4713, 46, 1frlmbasf 27331 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  X  /\  z  e.  B )  ->  z : I --> ( Base `  R ) )
4812, 47sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z : I --> ( Base `  R ) )
49 frlmup.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
5049adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  A : I --> C )
51 inidm 3391 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
5245, 48, 50, 36, 36, 51off 6109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  o F  .x.  A ) : I --> C )
537fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
) )
5453sneqd 3666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )
5554difeq2d 3307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
( 0g `  R
) } )  =  ( _V  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )
5655imaeq2d 5028 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' z "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' z
" ( _V  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) )
5756adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) )
58 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5913, 58, 1frlmbassup 27329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  X  /\  z  e.  B )  ->  ( `' z "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin )
6012, 59sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
6157, 60eqeltrrd 2371 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) )  e.  Fin )
62 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z : I --> ( Base `  R )  ->  z  Fn  I )
6348, 62syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  Fn  I )
6463adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  z  Fn  I )
65 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A : I --> C  ->  A  Fn  I )
6649, 65syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  Fn  I )
6766ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  A  Fn  I )
6812ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  I  e.  X )
69 eldifi 3311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( I  \ 
( `' z "
( _V  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) )  ->  x  e.  I )
7069adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  x  e.  I )
71 fnfvof 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( z  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
7264, 67, 68, 70, 71syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x )  =  ( ( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) )
73 ssid 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' z " ( _V 
\  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) 
C_  ( `' z
" ( _V  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )
7473a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) 
C_  ( `' z
" ( _V  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) )
7548, 74suppssr 5675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  (
z `  x )  =  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) )
7675oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  (
( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  T ) ) 
.x.  ( A `  x ) ) )
778ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  T  e.  LMod )
78 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : I --> C  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x
)  e.  C )
7950, 69, 78syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  ( A `  x )  e.  C )
80 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
8119, 5, 3, 80, 32lmod0vs 15679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  ( A `  x )  e.  C )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  T ) )  .x.  ( A `  x ) )  =  ( 0g
`  T ) )
8277, 79, 81syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  T ) )  .x.  ( A `  x ) )  =  ( 0g
`  T ) )
8372, 76, 823eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  ( I  \  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) ) )  ->  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x )  =  ( 0g `  T ) )
8452, 83suppss 5674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' ( z  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  C_  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) )
85 ssfi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' z "
( _V  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( z  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  C_  ( `' z " ( _V  \  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) ) )  ->  ( `' ( z  o F 
.x.  A ) "
( _V  \  {
( 0g `  T
) } ) )  e.  Fin )
8661, 84, 85syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' ( z  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
8719, 32, 35, 36, 52, 86gsumcl 15214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) )  e.  C )
8831, 87chvarv 1966 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  e.  C )
89 frlmup.e . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) ) )
9088, 89fmptd 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  E : B --> C )
9134adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  T  e. CMnd )
9212adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
93 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  B  <->  y  e.  B ) )
9493anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( ph  /\  z  e.  B )  <->  ( ph  /\  y  e.  B ) ) )
95 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  o F  .x.  A )  =  ( y  o F  .x.  A ) )
9695feq1d 5395 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  o F 
.x.  A ) : I --> C  <->  ( y  o F  .x.  A ) : I --> C ) )
9794, 96imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( z  o F 
.x.  A ) : I --> C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  B
)  ->  ( y  o F  .x.  A ) : I --> C ) ) )
9897, 52chvarv 1966 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  o F  .x.  A ) : I --> C )
9998adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  o F 
.x.  A ) : I --> C )
10052adantrl 696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( z  o F 
.x.  A ) : I --> C )
10195cnveqd 4873 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  `' ( z  o F 
.x.  A )  =  `' ( y  o F  .x.  A ) )
102101imaeq1d 5027 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( `' ( z  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  =  ( `' ( y  o F 
.x.  A ) "
( _V  \  {
( 0g `  T
) } ) ) )
103102eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( `' ( z  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' ( y  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
)
10494, 103imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' ( z  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin ) 
<->  ( ( ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( y  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin ) ) )
105104, 86chvarv 1966 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( y  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
106105adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( `' ( y  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin )
10786adantrl 696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( `' ( z  o F  .x.  A
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin )
10819, 32, 21, 91, 92, 99, 100, 106, 107gsumadd 15221 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T ) ( z  o F  .x.  A
) ) )  =  ( ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A
) ) ( +g  `  T ) ( T 
gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) ) )
1091, 20lmodvacl 15657 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
y ( +g  `  F
) z )  e.  B )
1101093expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( +g  `  F ) z )  e.  B
)
11115, 110sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  F ) z )  e.  B )
112 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  F ) z )  ->  (
x  o F  .x.  A )  =  ( ( y ( +g  `  F ) z )  o F  .x.  A
) )
113112oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  F ) z )  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F
) z )  o F  .x.  A ) ) )
114 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  o F 
.x.  A ) )  e.  _V
115113, 89, 114fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  F
) z )  e.  B  ->  ( E `  ( y ( +g  `  F ) z ) )  =  ( T 
gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  o F 
.x.  A ) ) )
116111, 115syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F
) z )  o F  .x.  A ) ) )
11711adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
118 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
119 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  e.  B )
120 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
12113, 1, 117, 92, 118, 119, 120, 20frlmplusgval 27332 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  F ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  R
) z ) )
122121oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  F ) z )  o F 
.x.  A )  =  ( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A ) )
12313, 46, 1frlmbasf 27331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  X  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
12412, 123sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
125124adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y : I --> ( Base `  R ) )
126 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> ( Base `  R )  ->  y  Fn  I )
127125, 126syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  Fn  I )
12848adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z : I --> ( Base `  R ) )
129128, 62syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  Fn  I )
130127, 129, 92, 92, 51offn 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  o F ( +g  `  R
) z )  Fn  I )
13166adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A  Fn  I )
132130, 131, 92, 92, 51offn 6105 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A )  Fn  I )
133 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  o F  .x.  A ) : I --> C  ->  ( y  o F  .x.  A )  Fn  I )
13498, 133syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  o F  .x.  A )  Fn  I
)
135134adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  o F 
.x.  A )  Fn  I )
136 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  o F  .x.  A ) : I --> C  ->  ( z  o F  .x.  A )  Fn  I )
13752, 136syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  o F  .x.  A )  Fn  I
)
138137adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( z  o F 
.x.  A )  Fn  I )
139135, 138, 92, 92, 51offn 6105 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T ) ( z  o F  .x.  A
) )  Fn  I
)
1407fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  (Scalar `  T )
) )
141140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (Scalar `  T ) ) )
142141oveqd 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) )  =  ( ( y `  x ) ( +g  `  (Scalar `  T )
) ( z `  x ) ) )
143142oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `
 x ) ( +g  `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) ) )
1448ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  T  e.  LMod )
145 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y : I --> ( Base `  R )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  ( Base `  R
) )
146125, 145sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  ( Base `  R
) )
14739ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
148146, 147eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
149 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z : I --> ( Base `  R )  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  R
) )
150128, 149sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  R
) )
151150, 147eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
15249adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A : I --> C )
153152, 78sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x )  e.  C )
154 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  (Scalar `  T )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  T )
)
15519, 21, 5, 3, 43, 154lmodvsdir 15668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  (
( y `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
)  /\  ( z `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  /\  ( A `  x )  e.  C ) )  -> 
( ( ( y `
 x ) ( +g  `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( ( ( y `  x ) 
.x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
156144, 148, 151, 153, 155syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  (Scalar `  T )
) ( z `  x ) )  .x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
157143, 156eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T
) ( ( z `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ) )
158127adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  y  Fn  I )
159129adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  z  Fn  I )
16012ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  X )
161 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
162 fnfvof 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  z  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  o F ( +g  `  R
) z ) `  x )  =  ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) ) )
163158, 159, 160, 161, 162syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y  o F ( +g  `  R
) z ) `  x )  =  ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) ) )
164163oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F ( +g  `  R
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) )  .x.  ( A `  x ) ) )
16566ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  A  Fn  I )
166 fnfvof 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( y `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
167158, 165, 160, 161, 166syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y  o F 
.x.  A ) `  x )  =  ( ( y `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) )
168159, 165, 160, 161, 71syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x )  =  ( ( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) )
169167, 168oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F  .x.  A ) `
 x ) ( +g  `  T ) ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) )  =  ( ( ( y `  x ) 
.x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
170157, 164, 1693eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F ( +g  `  R
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( ( y  o F 
.x.  A ) `  x ) ( +g  `  T ) ( ( z  o F  .x.  A ) `  x
) ) )
171130adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y  o F ( +g  `  R ) z )  Fn  I
)
172 fnfvof 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  Fn  I  /\  A  Fn  I )  /\  (
I  e.  X  /\  x  e.  I )
)  ->  ( (
( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  o F ( +g  `  R ) z ) `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) )
173171, 165, 160, 161, 172syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  o F ( +g  `  R ) z ) `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) )
174135adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y  o F  .x.  A )  Fn  I
)
175138adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z  o F  .x.  A )  Fn  I
)
176 fnfvof 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  o F  .x.  A )  Fn  I  /\  (
z  o F  .x.  A )  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( ( y  o F  .x.  A
)  o F ( +g  `  T ) ( z  o F 
.x.  A ) ) `
 x )  =  ( ( ( y  o F  .x.  A
) `  x )
( +g  `  T ) ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) ) )
177174, 175, 160, 161, 176syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T ) ( z  o F  .x.  A
) ) `  x
)  =  ( ( ( y  o F 
.x.  A ) `  x ) ( +g  `  T ) ( ( z  o F  .x.  A ) `  x
) ) )
178170, 173, 1773eqtr4d 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  o F  .x.  A
)  o F ( +g  `  T ) ( z  o F 
.x.  A ) ) `
 x ) )
179132, 139, 178eqfnfvd 5641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  o F ( +g  `  R
) z )  o F  .x.  A )  =  ( ( y  o F  .x.  A
)  o F ( +g  `  T ) ( z  o F 
.x.  A ) ) )
180122, 179eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  F ) z )  o F 
.x.  A )  =  ( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T ) ( z  o F  .x.  A
) ) )
181180oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T
) ( z  o F  .x.  A ) ) ) )
182116, 181eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y  o F  .x.  A )  o F ( +g  `  T
) ( z  o F  .x.  A ) ) ) )
183 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  o F  .x.  A )  =  ( y  o F  .x.  A ) )
184183oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A
) ) )
185 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) )  e.  _V
186184, 89, 185fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  ( E `  y )  =  ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A
) ) )
187186ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( T 
gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) ) )
188 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  o F  .x.  A )  =  ( z  o F  .x.  A ) )
189188oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( z  o F  .x.  A
) ) )
190 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) )  e.  _V
191189, 89, 190fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( z  e.  B  ->  ( E `  z )  =  ( T  gsumg  ( z  o F  .x.  A
) ) )
192191ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  z
)  =  ( T 
gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) )
193187, 192oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( E `  y ) ( +g  `  T ) ( E `
 z ) )  =  ( ( T 
gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) ) ( +g  `  T
) ( T  gsumg  ( z  o F  .x.  A
) ) ) )
194108, 182, 1933eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( ( E `
 y ) ( +g  `  T ) ( E `  z
) ) )
1951, 19, 20, 21, 23, 25, 90, 194isghmd 14708 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F 
GrpHom  T ) )
1968adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  T  e.  LMod )
19712adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  I  e.  X )
19818fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  T ) )  =  ( Base `  (Scalar `  F ) ) )
199198eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  <->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) ) )
200199biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
201200adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  T
) ) )
20252adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( z  o F  .x.  A ) : I --> C )
203 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  o F 
.x.  A ) : I --> C  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x )  e.  C
)
204202, 203sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x )  e.  C )
20552feqmptd 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  o F  .x.  A )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F 
.x.  A ) `  x ) ) )
206205cnveqd 4873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  `' ( z  o F 
.x.  A )  =  `' ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A
) `  x )
) )
207206imaeq1d 5027 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' ( z  o F  .x.  A )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  =  ( `' ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) ) )
208207, 86eqeltrrd 2371 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A
) `  x )
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  T ) } ) )  e.  Fin )
209208adantrl 696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  T ) } ) )  e.  Fin )
21019, 5, 43, 32, 21, 3, 196, 197, 201, 204, 209gsumvsmul 26867 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  ( ( z  o F  .x.  A ) `  x
) ) ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) ) ) ) )
21115adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  F  e.  LMod )
212 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) )
213 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
2141, 4, 2, 6lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( .s
`  F ) z )  e.  B )
215211, 212, 213, 214syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z )  e.  B )
21613, 46, 1frlmbasf 27331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  X  /\  ( y ( .s
`  F ) z )  e.  B )  ->  ( y ( .s `  F ) z ) : I --> ( Base `  R
) )
217197, 215, 216syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z ) : I --> ( Base `  R
) )
218 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( .s `  F ) z ) : I --> ( Base `  R )  ->  (
y ( .s `  F ) z )  Fn  I )
219217, 218syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z )  Fn  I )
22066adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  A  Fn  I )
221219, 220, 197, 197, 51offn 6105 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
)  Fn  I )
222 dffn2 5406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A )  Fn  I  <->  ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) : I --> _V )
223221, 222sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
) : I --> _V )
224223feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) `  x
) ) )
2257fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
) )
226225ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
) )
227226oveqd 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y ( .r
`  R ) ( z `  x ) )  =  ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) ) )
228227oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
) )
2298ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  T  e.  LMod )
230 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
231198ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  T ) )  =  ( Base `  (Scalar `  F ) ) )
232230, 231eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
23348, 149sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  R
) )
23439ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
235233, 234eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
236235adantlrl 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( z `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
23749, 78sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x )  e.  C )
238237adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x
)  e.  C )
239 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  (Scalar `  T )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
)
24019, 5, 3, 43, 239lmodvsass 15670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
)  /\  ( z `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  /\  ( A `  x )  e.  C ) )  -> 
( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( y  .x.  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
241229, 232, 236, 238, 240syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( y  .x.  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
242228, 241eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( y 
.x.  ( ( z `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ) )
243219adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y ( .s
`  F ) z )  Fn  I )
24466ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  A  Fn  I )
24512ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  X )
246 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
247 fnfvof 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y ( .s `  F ) z )  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( ( y ( .s `  F
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
248243, 244, 245, 246, 247syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
24917fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
250249ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
251230, 250eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  R ) )
252 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  z  e.  B )
253 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
25413, 1, 46, 245, 251, 252, 246, 2, 253frlmvscaval 27334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .s `  F ) z ) `  x
)  =  ( y ( .r `  R
) ( z `  x ) ) )
255254oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( y ( .r `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) ) )
256248, 255eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
) )
25763adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  z  Fn  I )
258257adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  z  Fn  I )
259258, 244, 245, 246, 71syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
260259oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y  .x.  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x ) )  =  ( y  .x.  (
( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) ) )
261242, 256, 2603eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  o F  .x.  A ) `
 x )  =  ( y  .x.  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x ) ) )
262261mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) `  x
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  ( ( z  o F  .x.  A ) `  x
) ) ) )
263224, 262eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
)  =  ( x  e.  I  |->  ( y 
.x.  ( ( z  o F  .x.  A
) `  x )
) ) )
264263oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  (
( z  o F 
.x.  A ) `  x ) ) ) ) )
265202feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( z  o F  .x.  A )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A
) `  x )
) )
266265oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( z  o F  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A ) `
 x ) ) ) )
267266oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) )  =  ( y 
.x.  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  o F  .x.  A ) `  x
) ) ) ) )
268210, 264, 2673eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) ) )
269 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( .s `  F ) z )  ->  (
x  o F  .x.  A )  =  ( ( y ( .s
`  F ) z )  o F  .x.  A ) )
270269oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( .s `  F ) z )  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
) ) )
271 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( T 
gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  o F 
.x.  A ) )  e.  _V
272270, 89, 271fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( ( y ( .s `  F ) z )  e.  B  ->  ( E `  ( y
( .s `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  o F  .x.  A
) ) )
273215, 272syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( E `  ( y ( .s
`  F ) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  o F 
.x.  A ) ) )
274191oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( z  e.  B  ->  (
y  .x.  ( E `  z ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) ) )
275274ad2antll 709 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  .x.  ( E `  z
) )  =  ( y  .x.  ( T 
gsumg  ( z  o F 
.x.  A ) ) ) )
276268, 273, 2753eqtr4d 2338 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( E `  ( y ( .s
`  F ) z ) )  =  ( y  .x.  ( E `
 z ) ) )
2771, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 195, 276islmhmd 15812 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Fincfn 6879   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Grpcgrp 14378  CMndccmn 15105   Ringcrg 15353   LModclmod 15643   LMHom clmhm 15792   freeLMod cfrlm 27315
This theorem is referenced by:  frlmup3  27355  frlmup4  27356  islindf5  27412  indlcim  27413  lnrfg  27426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lmhm 15795  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-dsmm 27301  df-frlm 27317
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