Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmup3 Structured version   Unicode version

Theorem frlmup3 27243
 Description: The range of such an evaluation map is the finite linear combinations of the target vectors and also the span of the target vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f freeLMod
frlmup.b
frlmup.c
frlmup.v
frlmup.e g
frlmup.t
frlmup.i
frlmup.r Scalar
frlmup.a
frlmup.k
Assertion
Ref Expression
frlmup3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem frlmup3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.f . . . 4 freeLMod
2 frlmup.b . . . 4
3 frlmup.c . . . 4
4 frlmup.v . . . 4
5 frlmup.e . . . 4 g
6 frlmup.t . . . 4
7 frlmup.i . . . 4
8 frlmup.r . . . 4 Scalar
9 frlmup.a . . . 4
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9frlmup1 27241 . . 3 LMHom
11 eqid 2438 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
1211lmodrng 15963 . . . . . . 7 Scalar
136, 12syl 16 . . . . . 6 Scalar
148, 13eqeltrd 2512 . . . . 5
15 eqid 2438 . . . . . 6 unitVec unitVec
1615, 1, 2uvcff 27231 . . . . 5 unitVec
1714, 7, 16syl2anc 644 . . . 4 unitVec
18 frn 5600 . . . 4 unitVec unitVec
1917, 18syl 16 . . 3 unitVec
20 eqid 2438 . . . 4
21 frlmup.k . . . 4
222, 20, 21lmhmlsp 16130 . . 3 LMHom unitVec unitVec unitVec
2310, 19, 22syl2anc 644 . 2 unitVec unitVec
242, 3lmhmf 16115 . . . . . 6 LMHom
2510, 24syl 16 . . . . 5
26 ffn 5594 . . . . 5
2725, 26syl 16 . . . 4
28 fnima 5566 . . . 4
2927, 28syl 16 . . 3
30 eqid 2438 . . . . . . . 8 LBasis LBasis
311, 15, 30frlmlbs 27240 . . . . . . 7 unitVec LBasis
3214, 7, 31syl2anc 644 . . . . . 6 unitVec LBasis
332, 30, 20lbssp 16156 . . . . . 6 unitVec LBasis unitVec
3432, 33syl 16 . . . . 5 unitVec
3534eqcomd 2443 . . . 4 unitVec
3635imaeq2d 5206 . . 3 unitVec
3729, 36eqtr3d 2472 . 2 unitVec
38 imaco 5378 . . . 4 unitVec unitVec
39 ffn 5594 . . . . . . . 8
409, 39syl 16 . . . . . . 7
41 ffn 5594 . . . . . . . . 9 unitVec unitVec
4217, 41syl 16 . . . . . . . 8 unitVec
43 fnco 5556 . . . . . . . 8 unitVec unitVec unitVec
4427, 42, 19, 43syl3anc 1185 . . . . . . 7 unitVec
45 fvco2 5801 . . . . . . . . 9 unitVec unitVec unitVec
4642, 45sylan 459 . . . . . . . 8 unitVec unitVec
476adantr 453 . . . . . . . . 9
487adantr 453 . . . . . . . . 9
498adantr 453 . . . . . . . . 9 Scalar
509adantr 453 . . . . . . . . 9
51 simpr 449 . . . . . . . . 9
521, 2, 3, 4, 5, 47, 48, 49, 50, 51, 15frlmup2 27242 . . . . . . . 8 unitVec
5346, 52eqtr2d 2471 . . . . . . 7 unitVec
5440, 44, 53eqfnfvd 5833 . . . . . 6 unitVec
5554imaeq1d 5205 . . . . 5 unitVec
56 fnima 5566 . . . . . 6
5740, 56syl 16 . . . . 5
5855, 57eqtr3d 2472 . . . 4 unitVec
59 fnima 5566 . . . . . 6 unitVec unitVec unitVec
6042, 59syl 16 . . . . 5 unitVec unitVec
6160imaeq2d 5206 . . . 4 unitVec unitVec
6238, 58, 613eqtr3a 2494 . . 3 unitVec
6362fveq2d 5735 . 2 unitVec
6423, 37, 633eqtr4d 2480 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322   cmpt 4269   crn 4882  cima 4884   ccom 4885   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306  cbs 13474  Scalarcsca 13537  cvsca 13538   g cgsu 13729  crg 15665  clmod 15955  clspn 16052   LMHom clmhm 16100  LBasisclbs 16151   freeLMod cfrlm 27203   unitVec cuvc 27204 This theorem is referenced by:  ellspd  27245  indlcim  27301  lnrfg  27314 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676  df-pws 13678  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lmhm 16103  df-lbs 16152  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-nzr 16334  df-dsmm 27189  df-frlm 27205  df-uvc 27206
 Copyright terms: Public domain W3C validator