Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmvscaval Structured version   Unicode version

Theorem frlmvscaval 27189
Description: Scalar multiplication in a free module at a coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmvscaval.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmvscaval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmvscaval.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
frlmvscaval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
frlmvscaval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
frlmvscaval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
frlmvscaval.j  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
frlmvscaval.v  |-  .xb  =  ( .s `  Y )
frlmvscaval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
frlmvscaval  |-  ( ph  ->  ( ( A  .xb  X ) `  J
)  =  ( A 
.x.  ( X `  J ) ) )

Proof of Theorem frlmvscaval
StepHypRef Expression
1 frlmvscaval.y . . . 4  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
2 frlmvscaval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 frlmvscaval.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 frlmvscaval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 frlmvscaval.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
6 frlmvscaval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 frlmvscaval.v . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  Y )
8 frlmvscaval.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frlmvscafval 27188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  X
)  =  ( ( I  X.  { A } )  o F 
.x.  X ) )
109fveq1d 5722 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .xb  X ) `  J
)  =  ( ( ( I  X.  { A } )  o F 
.x.  X ) `  J ) )
11 fnconstg 5623 . . . 4  |-  ( A  e.  K  ->  (
I  X.  { A } )  Fn  I
)
125, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I  X.  { A } )  Fn  I
)
131, 3, 2frlmbasf 27186 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X : I --> K )
144, 6, 13syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : I --> K )
15 ffn 5583 . . . 4  |-  ( X : I --> K  ->  X  Fn  I )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  Fn  I )
17 frlmvscaval.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
18 fnfvof 6309 . . 3  |-  ( ( ( ( I  X.  { A } )  Fn  I  /\  X  Fn  I )  /\  (
I  e.  W  /\  J  e.  I )
)  ->  ( (
( I  X.  { A } )  o F 
.x.  X ) `  J )  =  ( ( ( I  X.  { A } ) `  J )  .x.  ( X `  J )
) )
1912, 16, 4, 17, 18syl22anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I  X.  { A }
)  o F  .x.  X ) `  J
)  =  ( ( ( I  X.  { A } ) `  J
)  .x.  ( X `  J ) ) )
20 fvconst2g 5937 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  J  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { A } ) `  J )  =  A )
215, 17, 20syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { A } ) `  J )  =  A )
2221oveq1d 6088 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I  X.  { A }
) `  J )  .x.  ( X `  J
) )  =  ( A  .x.  ( X `
 J ) ) )
2310, 19, 223eqtrd 2471 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .xb  X ) `  J
)  =  ( A 
.x.  ( X `  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3806    X. cxp 4868    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   Basecbs 13461   .rcmulr 13522   .scvsca 13525   freeLMod cfrlm 27170
This theorem is referenced by:  frlmssuvc2  27205  frlmup1  27208
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-0g 13719  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-dsmm 27156  df-frlm 27172
  Copyright terms: Public domain W3C validator