MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmd0 Structured version   Unicode version

Theorem frmd0 14798
Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
Assertion
Ref Expression
frmd0  |-  (/)  =  ( 0g `  M )

Proof of Theorem frmd0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2436 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
3 eqid 2436 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
4 wrd0 11725 . . . 4  |-  (/)  e. Word  I
5 frmdmnd.m . . . . 5  |-  M  =  (freeMnd `  I )
65, 1frmdbas 14790 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( Base `  M )  = Word 
I )
74, 6syl5eleqr 2523 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  (/)  e.  (
Base `  M )
)
85, 1, 3frmdadd 14793 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  ( Base `  M )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( (/) ( +g  `  M
) x )  =  ( (/) concat  x ) )
97, 8sylan 458 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( (/) ( +g  `  M
) x )  =  ( (/) concat  x ) )
105, 1frmdelbas 14791 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  M
)  ->  x  e. Word  I )
1110adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e. Word  I )
12 ccatlid 11741 . . . . 5  |-  ( x  e. Word  I  ->  ( (/) concat  x )  =  x )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( (/) concat  x )  =  x )
149, 13eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( (/) ( +g  `  M
) x )  =  x )
155, 1, 3frmdadd 14793 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  M )  /\  (/)  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( +g  `  M )
(/) )  =  ( x concat  (/) ) )
1615ancoms 440 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  ( Base `  M )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) (/) )  =  ( x concat  (/) ) )
177, 16sylan 458 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( +g  `  M ) (/) )  =  ( x concat  (/) ) )
18 ccatrid 11742 . . . . 5  |-  ( x  e. Word  I  ->  (
x concat  (/) )  =  x )
1911, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x concat  (/) )  =  x )
2017, 19eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( +g  `  M ) (/) )  =  x )
211, 2, 3, 7, 14, 20ismgmid2 14706 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (/)  =  ( 0g `  M ) )
22 fvprc 5715 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (freeMnd `  I )  =  (/) )
235, 22syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  M  =  (/) )
2423fveq2d 5725 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( 0g `  M )  =  ( 0g `  (/) ) )
25 0g0 14702 . . 3  |-  (/)  =  ( 0g `  (/) )
2624, 25syl6reqr 2487 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (/)  =  ( 0g `  M ) )
2721, 26pm2.61i 158 1  |-  (/)  =  ( 0g `  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2949   (/)c0 3621   ` cfv 5447  (class class class)co 6074  Word cword 11710   concat cconcat 11711   Basecbs 13462   +g cplusg 13522   0gc0g 13716  freeMndcfrmd 14785
This theorem is referenced by:  frmdsssubm  14799  frmdgsum  14800  frmdup1  14802  frgpmhm  15390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-pm 7014  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-hash 11612  df-word 11716  df-concat 11717  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-plusg 13535  df-0g 13720  df-frmd 14787
  Copyright terms: Public domain W3C validator