MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdbas Unicode version

Theorem frmdbas 14523
Description: The base set of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdbas.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
frmdbas  |-  ( I  e.  V  ->  B  = Word  I )

Proof of Theorem frmdbas
StepHypRef Expression
1 frmdbas.b . 2  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 frmdbas.m . . . . 5  |-  M  =  (freeMnd `  I )
3 eqidd 2317 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  -> Word  I  = Word 
I )
4 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( concat  |`  (Word  I  X. Word  I ) )  =  ( concat  |`  (Word  I  X. Word  I ) )
52, 3, 4frmdval 14522 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) , Word  I >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  I  X. Word  I ) ) >. } )
65fveq2d 5567 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  M )  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) , Word  I >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  I  X. Word  I ) ) >. } ) )
7 wrdexg 11472 . . . 4  |-  ( I  e.  V  -> Word  I  e. 
_V )
8 eqid 2316 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) , Word 
I >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  I  X. Word  I ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) , Word  I >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  I  X. Word  I ) ) >. }
98grpbase 13295 . . . 4  |-  (Word  I  e.  _V  -> Word  I  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) , Word 
I >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  I  X. Word  I ) ) >. } ) )
107, 9syl 15 . . 3  |-  ( I  e.  V  -> Word  I  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) , Word  I >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  I  X. Word  I ) ) >. } ) )
116, 10eqtr4d 2351 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  M )  = Word 
I )
121, 11syl5eq 2360 1  |-  ( I  e.  V  ->  B  = Word  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   {cpr 3675   <.cop 3677    X. cxp 4724    |` cres 4728   ` cfv 5292  Word cword 11450   concat cconcat 11451   ndxcnx 13192   Basecbs 13195   +g cplusg 13255  freeMndcfrmd 14518
This theorem is referenced by:  frmdelbas  14524  frmdplusg  14525  frmdmnd  14530  frmd0  14531  frmdsssubm  14532  frmdgsum  14533  frmdup1  14535  frmdup3  14537  frgpcpbl  15117  frgp0  15118  frgpeccl  15119  frgpadd  15121  frgpmhm  15123  frgpupf  15131  frgpup1  15133  frgpup3lem  15135  frgpnabllem2  15211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-word 11456  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-plusg 13268  df-frmd 14520
  Copyright terms: Public domain W3C validator