Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdmnd Structured version   Unicode version

Theorem frmdmnd 14805
 Description: A free monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m freeMnd
Assertion
Ref Expression
frmdmnd

Proof of Theorem frmdmnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2438 . 2
2 eqidd 2438 . 2
3 frmdmnd.m . . . . . 6 freeMnd
4 eqid 2437 . . . . . 6
5 eqid 2437 . . . . . 6
63, 4, 5frmdadd 14801 . . . . 5 concat
73, 4frmdelbas 14799 . . . . . 6 Word
83, 4frmdelbas 14799 . . . . . 6 Word
9 ccatcl 11744 . . . . . 6 Word Word concat Word
107, 8, 9syl2an 465 . . . . 5 concat Word
116, 10eqeltrd 2511 . . . 4 Word
12113adant1 976 . . 3 Word
133, 4frmdbas 14798 . . . 4 Word
14133ad2ant1 979 . . 3 Word
1512, 14eleqtrrd 2514 . 2
16 simpr1 964 . . . . . 6
1716, 7syl 16 . . . . 5 Word
18 simpr2 965 . . . . . 6
1918, 8syl 16 . . . . 5 Word
20 simpr3 966 . . . . . 6
213, 4frmdelbas 14799 . . . . . 6 Word
2220, 21syl 16 . . . . 5 Word
23 ccatass 11751 . . . . 5 Word Word Word concat concat concat concat
2417, 19, 22, 23syl3anc 1185 . . . 4 concat concat concat concat
2516, 18, 10syl2anc 644 . . . . . 6 concat Word
2613adantr 453 . . . . . 6 Word
2725, 26eleqtrrd 2514 . . . . 5 concat
283, 4, 5frmdadd 14801 . . . . 5 concat concat concat concat
2927, 20, 28syl2anc 644 . . . 4 concat concat concat
30 ccatcl 11744 . . . . . . 7 Word Word concat Word
3119, 22, 30syl2anc 644 . . . . . 6 concat Word
3231, 26eleqtrrd 2514 . . . . 5 concat
333, 4, 5frmdadd 14801 . . . . 5 concat concat concat concat
3416, 32, 33syl2anc 644 . . . 4 concat concat concat
3524, 29, 343eqtr4d 2479 . . 3 concat concat
3616, 18, 6syl2anc 644 . . . 4 concat
3736oveq1d 6097 . . 3 concat
383, 4, 5frmdadd 14801 . . . . 5 concat
3918, 20, 38syl2anc 644 . . . 4 concat
4039oveq2d 6098 . . 3 concat
4135, 37, 403eqtr4d 2479 . 2
42 wrd0 11733 . . 3 Word
4342, 13syl5eleqr 2524 . 2
443, 4, 5frmdadd 14801 . . . 4 concat
4543, 44sylan 459 . . 3 concat
467adantl 454 . . . 4 Word
47 ccatlid 11749 . . . 4 Word concat
4846, 47syl 16 . . 3 concat
4945, 48eqtrd 2469 . 2
503, 4, 5frmdadd 14801 . . . . 5 concat
5150ancoms 441 . . . 4 concat
5243, 51sylan 459 . . 3 concat
53 ccatrid 11750 . . . 4 Word concat
5446, 53syl 16 . . 3 concat
5552, 54eqtrd 2469 . 2
561, 2, 15, 41, 43, 49, 55ismndd 14720 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  c0 3629  cfv 5455  (class class class)co 6082  Word cword 11718   concat cconcat 11719  cbs 13470   cplusg 13530  cmnd 14685  freeMndcfrmd 14793 This theorem is referenced by:  frmdsssubm  14807  frmdgsum  14808  frmdup1  14810  frgp0  15393  frgpadd  15396  frgpmhm  15398 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-hash 11620  df-word 11724  df-concat 11725  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-mnd 14691  df-frmd 14795
 Copyright terms: Public domain W3C validator