Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Unicode version

Theorem frmdplusg 14799
 Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m freeMnd
frmdbas.b
frmdplusg.p
Assertion
Ref Expression
frmdplusg concat

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4
2 frmdbas.m . . . . . 6 freeMnd
3 frmdbas.b . . . . . . 7
42, 3frmdbas 14797 . . . . . 6 Word
5 eqid 2436 . . . . . 6 concat concat
62, 4, 5frmdval 14796 . . . . 5 concat
76fveq2d 5732 . . . 4 concat
81, 7syl5eq 2480 . . 3 concat
9 wrdexg 11739 . . . 4 Word
10 ccatfn 11741 . . . . . . 7 concat
11 xpss 4982 . . . . . . 7
12 fnssres 5558 . . . . . . 7 concat concat
1310, 11, 12mp2an 654 . . . . . 6 concat
14 ovres 6213 . . . . . . . 8 concat concat
152, 3frmdelbas 14798 . . . . . . . . 9 Word
162, 3frmdelbas 14798 . . . . . . . . 9 Word
17 ccatcl 11743 . . . . . . . . 9 Word Word concat Word
1815, 16, 17syl2an 464 . . . . . . . 8 concat Word
1914, 18eqeltrd 2510 . . . . . . 7 concat Word
2019rgen2a 2772 . . . . . 6 concat Word
21 ffnov 6174 . . . . . 6 concat Word concat concat Word
2213, 20, 21mpbir2an 887 . . . . 5 concat Word
23 fvex 5742 . . . . . . 7
243, 23eqeltri 2506 . . . . . 6
2524, 24xpex 4990 . . . . 5
26 fex2 5603 . . . . 5 concat Word Word concat
2722, 25, 26mp3an12 1269 . . . 4 Word concat
28 eqid 2436 . . . . 5 concat concat
2928grpplusg 13570 . . . 4 concat concat concat
309, 27, 293syl 19 . . 3 concat concat
318, 30eqtr4d 2471 . 2 concat
32 fvprc 5722 . . . . . . 7 freeMnd
332, 32syl5eq 2480 . . . . . 6
3433fveq2d 5732 . . . . 5
351, 34syl5eq 2480 . . . 4
36 res0 5150 . . . . 5 concat
37 df-plusg 13542 . . . . . 6 Slot
3837str0 13505 . . . . 5
3936, 38eqtr2i 2457 . . . 4 concat
4035, 39syl6eq 2484 . . 3 concat
4133fveq2d 5732 . . . . . . 7
42 base0 13506 . . . . . . 7
4341, 3, 423eqtr4g 2493 . . . . . 6
4443xpeq2d 4902 . . . . 5
45 xp0 5291 . . . . 5
4644, 45syl6eq 2484 . . . 4
4746reseq2d 5146 . . 3 concat concat
4840, 47eqtr4d 2471 . 2 concat
4931, 48pm2.61i 158 1 concat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   wss 3320  c0 3628  cpr 3815  cop 3817   cxp 4876   cres 4880   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  c2 10049  Word cword 11717   concat cconcat 11718  cnx 13466  cbs 13469   cplusg 13529  freeMndcfrmd 14792 This theorem is referenced by:  frmdadd  14800 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-concat 11724  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-frmd 14794
 Copyright terms: Public domain W3C validator