MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Unicode version

Theorem frmdplusg 14476
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdbas.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
frmdplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
frmdplusg  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2 frmdbas.m . . . . . 6  |-  M  =  (freeMnd `  I )
3 frmdbas.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
42, 3frmdbas 14474 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  B  = Word  I )
5 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
62, 4, 5frmdval 14473 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } )
76fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
81, 7syl5eq 2327 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
9 wrdexg 11425 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  -> Word  I  e. 
_V )
10 ccatfn 11427 . . . . . . 7  |- concat  Fn  ( _V  X.  _V )
11 xpss 4793 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
12 fnssres 5357 . . . . . . 7  |-  ( ( concat  Fn  ( _V  X.  _V )  /\  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B ) )
1310, 11, 12mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )
14 ovres 5987 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  =  ( x concat  y ) )
152, 3frmdelbas 14475 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  x  e. Word  I )
162, 3frmdelbas 14475 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e. Word  I )
17 ccatcl 11429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  I  /\  y  e. Word  I )  ->  ( x concat  y )  e. Word  I )
1815, 16, 17syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x concat  y )  e. Word  I )
1914, 18eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
)
2019rgen2a 2609 . . . . . 6  |-  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
21 ffnov 5948 . . . . . 6  |-  ( ( concat  |`  ( B  X.  B
) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I  <->  ( ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
) )
2213, 20, 21mpbir2an 886 . . . . 5  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I
23 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( Base `  M )  e.  _V
243, 23eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2524, 24xpex 4801 . . . . 5  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
26 fex2 5401 . . . . 5  |-  ( ( ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B
) -->Word  I  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\ Word  I  e.  _V )  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
2722, 25, 26mp3an12 1267 . . . 4  |-  (Word  I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
28 eqid 2283 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. }
2928grpplusg 13249 . . . 4  |-  ( ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
309, 27, 293syl 18 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
318, 30eqtr4d 2318 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) ) )
32 fvprc 5519 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (freeMnd `  I )  =  (/) )
332, 32syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  M  =  (/) )
3433fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  (/) ) )
351, 34syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  (/) ) )
36 res0 4959 . . . . 5  |-  ( concat  |`  (/) )  =  (/)
37 df-plusg 13221 . . . . . 6  |-  +g  = Slot  2
3837str0 13184 . . . . 5  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3936, 38eqtr2i 2304 . . . 4  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( concat  |`  (/) )
4035, 39syl6eq 2331 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat  |`  (/) ) )
4133fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  M )  =  ( Base `  (/) ) )
42 base0 13185 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
4341, 3, 423eqtr4g 2340 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
4443xpeq2d 4713 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  ( B  X.  (/) ) )
45 xp0 5098 . . . . 5  |-  ( B  X.  (/) )  =  (/)
4644, 45syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  (/) )
4746reseq2d 4955 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( concat  |`  (/) ) )
4840, 47eqtr4d 2318 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) )
4931, 48pm2.61i 156 1  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {cpr 3641   <.cop 3643    X. cxp 4687    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   2c2 9795  Word cword 11403   concat cconcat 11404   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  freeMndcfrmd 14469
This theorem is referenced by:  frmdadd  14477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-frmd 14471
  Copyright terms: Public domain W3C validator