MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Unicode version

Theorem frmdplusg 14799
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdbas.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
frmdplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
frmdplusg  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2 frmdbas.m . . . . . 6  |-  M  =  (freeMnd `  I )
3 frmdbas.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
42, 3frmdbas 14797 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  B  = Word  I )
5 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
62, 4, 5frmdval 14796 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } )
76fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
81, 7syl5eq 2480 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
9 wrdexg 11739 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  -> Word  I  e. 
_V )
10 ccatfn 11741 . . . . . . 7  |- concat  Fn  ( _V  X.  _V )
11 xpss 4982 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
12 fnssres 5558 . . . . . . 7  |-  ( ( concat  Fn  ( _V  X.  _V )  /\  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B ) )
1310, 11, 12mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )
14 ovres 6213 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  =  ( x concat  y ) )
152, 3frmdelbas 14798 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  x  e. Word  I )
162, 3frmdelbas 14798 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e. Word  I )
17 ccatcl 11743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  I  /\  y  e. Word  I )  ->  ( x concat  y )  e. Word  I )
1815, 16, 17syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x concat  y )  e. Word  I )
1914, 18eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
)
2019rgen2a 2772 . . . . . 6  |-  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
21 ffnov 6174 . . . . . 6  |-  ( ( concat  |`  ( B  X.  B
) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I  <->  ( ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
) )
2213, 20, 21mpbir2an 887 . . . . 5  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I
23 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( Base `  M )  e.  _V
243, 23eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2524, 24xpex 4990 . . . . 5  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
26 fex2 5603 . . . . 5  |-  ( ( ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B
) -->Word  I  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\ Word  I  e.  _V )  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
2722, 25, 26mp3an12 1269 . . . 4  |-  (Word  I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
28 eqid 2436 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. }
2928grpplusg 13570 . . . 4  |-  ( ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
309, 27, 293syl 19 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
318, 30eqtr4d 2471 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) ) )
32 fvprc 5722 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (freeMnd `  I )  =  (/) )
332, 32syl5eq 2480 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  M  =  (/) )
3433fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  (/) ) )
351, 34syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  (/) ) )
36 res0 5150 . . . . 5  |-  ( concat  |`  (/) )  =  (/)
37 df-plusg 13542 . . . . . 6  |-  +g  = Slot  2
3837str0 13505 . . . . 5  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3936, 38eqtr2i 2457 . . . 4  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( concat  |`  (/) )
4035, 39syl6eq 2484 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat  |`  (/) ) )
4133fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  M )  =  ( Base `  (/) ) )
42 base0 13506 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
4341, 3, 423eqtr4g 2493 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
4443xpeq2d 4902 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  ( B  X.  (/) ) )
45 xp0 5291 . . . . 5  |-  ( B  X.  (/) )  =  (/)
4644, 45syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  (/) )
4746reseq2d 5146 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( concat  |`  (/) ) )
4840, 47eqtr4d 2471 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) )
4931, 48pm2.61i 158 1  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {cpr 3815   <.cop 3817    X. cxp 4876    |` cres 4880    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   2c2 10049  Word cword 11717   concat cconcat 11718   ndxcnx 13466   Basecbs 13469   +g cplusg 13529  freeMndcfrmd 14792
This theorem is referenced by:  frmdadd  14800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-concat 11724  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-frmd 14794
  Copyright terms: Public domain W3C validator