Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdss2 Structured version   Unicode version

Theorem frmdss2 14800
 Description: A subset of generators is contained in a submonoid iff the set of words on the generators is in the submonoid. This can be viewed as an elementary way of saying "the monoidal closure of is Word ". (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m freeMnd
frmdgsum.u varFMnd
Assertion
Ref Expression
frmdss2 SubMnd Word

Proof of Theorem frmdss2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . . . . 7 SubMnd Word
2 simpl2 961 . . . . . . . . 9 SubMnd Word
3 sswrd 11729 . . . . . . . . 9 Word Word
42, 3syl 16 . . . . . . . 8 SubMnd Word Word Word
5 simprr 734 . . . . . . . 8 SubMnd Word Word
64, 5sseldd 3341 . . . . . . 7 SubMnd Word Word
7 frmdmnd.m . . . . . . . 8 freeMnd
8 frmdgsum.u . . . . . . . 8 varFMnd
97, 8frmdgsum 14799 . . . . . . 7 Word g
101, 6, 9syl2anc 643 . . . . . 6 SubMnd Word g
11 simpl3 962 . . . . . . 7 SubMnd Word SubMnd
12 wrdf 11725 . . . . . . . . . . 11 Word ..^
1312ad2antll 710 . . . . . . . . . 10 SubMnd Word ..^
14 frn 5589 . . . . . . . . . 10 ..^
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9 SubMnd Word
16 cores 5365 . . . . . . . . 9
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8 SubMnd Word
188vrmdf 14795 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
19183ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd Word
20 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . 13 Word
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd
2221adantr 452 . . . . . . . . . . 11 SubMnd Word
23 fnssres 5550 . . . . . . . . . . 11
2422, 2, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 SubMnd Word
25 df-ima 4883 . . . . . . . . . . 11
26 simprl 733 . . . . . . . . . . 11 SubMnd Word
2725, 26syl5eqssr 3385 . . . . . . . . . 10 SubMnd Word
28 df-f 5450 . . . . . . . . . 10
2924, 27, 28sylanbrc 646 . . . . . . . . 9 SubMnd Word
30 wrdco 11792 . . . . . . . . 9 Word Word
315, 29, 30syl2anc 643 . . . . . . . 8 SubMnd Word Word
3217, 31eqeltrrd 2510 . . . . . . 7 SubMnd Word Word
33 gsumwsubmcl 14776 . . . . . . 7 SubMnd Word g
3411, 32, 33syl2anc 643 . . . . . 6 SubMnd Word g
3510, 34eqeltrrd 2510 . . . . 5 SubMnd Word
3635expr 599 . . . 4 SubMnd Word
3736ssrdv 3346 . . 3 SubMnd Word
3837ex 424 . 2 SubMnd Word
39 simpl1 960 . . . . . . 7 SubMnd
40 simp2 958 . . . . . . . 8 SubMnd
4140sselda 3340 . . . . . . 7 SubMnd
428vrmdval 14794 . . . . . . 7
4339, 41, 42syl2anc 643 . . . . . 6 SubMnd
44 simpr 448 . . . . . . 7 SubMnd
4544s1cld 11748 . . . . . 6 SubMnd Word
4643, 45eqeltrd 2509 . . . . 5 SubMnd Word
4746ralrimiva 2781 . . . 4 SubMnd Word
48 fnfun 5534 . . . . . 6
4921, 48syl 16 . . . . 5 SubMnd
50 fndm 5536 . . . . . . 7
5121, 50syl 16 . . . . . 6 SubMnd
5240, 51sseqtr4d 3377 . . . . 5 SubMnd
53 funimass4 5769 . . . . 5 Word Word
5449, 52, 53syl2anc 643 . . . 4 SubMnd Word Word
5547, 54mpbird 224 . . 3 SubMnd Word
56 sstr2 3347 . . 3 Word Word
5755, 56syl 16 . 2 SubMnd Word
5838, 57impbid 184 1 SubMnd Word
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312   cdm 4870   crn 4871   cres 4872  cima 4873   ccom 4874   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc0 8982  ..^cfzo 11127  chash 11610  Word cword 11709  cs1 11711   g cgsu 13716  SubMndcsubmnd 14729  freeMndcfrmd 14784  varFMndcvrmd 14785 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-word 11715  df-concat 11716  df-s1 11717  df-substr 11718  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-frmd 14786  df-vrmd 14787
 Copyright terms: Public domain W3C validator