MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdsssubm Unicode version

Theorem frmdsssubm 14499
Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
Assertion
Ref Expression
frmdsssubm  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> Word  J  e.  (SubMnd `  M
) )

Proof of Theorem frmdsssubm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sswrd 11439 . . . 4  |-  ( J 
C_  I  -> Word  J  C_ Word  I )
21adantl 452 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> Word  J 
C_ Word  I )
3 frmdmnd.m . . . . 5  |-  M  =  (freeMnd `  I )
4 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
53, 4frmdbas 14490 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  M )  = Word 
I )
65adantr 451 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> 
( Base `  M )  = Word  I )
72, 6sseqtr4d 3228 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> Word  J 
C_  ( Base `  M
) )
8 wrd0 11434 . . 3  |-  (/)  e. Word  J
98a1i 10 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (/) 
e. Word  J )
107sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e. Word  J
)  ->  x  e.  ( Base `  M )
)
117sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e. Word  J
)  ->  y  e.  ( Base `  M )
)
1210, 11anim12dan 810 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( x  e. Word  J  /\  y  e. Word  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) ) )
13 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
143, 4, 13frmdadd 14493 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( x concat  y ) )
1512, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( x  e. Word  J  /\  y  e. Word  J
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( x concat  y ) )
16 ccatcl 11445 . . . . 5  |-  ( ( x  e. Word  J  /\  y  e. Word  J )  ->  ( x concat  y )  e. Word  J )
1716adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( x  e. Word  J  /\  y  e. Word  J
) )  ->  (
x concat  y )  e. Word  J
)
1815, 17eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( x  e. Word  J  /\  y  e. Word  J
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  e. Word  J )
1918ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  A. x  e. Word  J A. y  e. Word  J (
x ( +g  `  M
) y )  e. Word  J )
203frmdmnd 14497 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Mnd )
2120adantr 451 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  M  e.  Mnd )
223frmd0 14498 . . . 4  |-  (/)  =  ( 0g `  M )
234, 22, 13issubm 14441 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (Word  J  e.  (SubMnd `  M
)  <->  (Word  J  C_  ( Base `  M )  /\  (/) 
e. Word  J  /\  A. x  e. Word  J A. y  e. Word  J ( x ( +g  `  M ) y )  e. Word  J
) ) )
2421, 23syl 15 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> 
(Word  J  e.  (SubMnd `  M )  <->  (Word  J  C_  ( Base `  M
)  /\  (/)  e. Word  J  /\  A. x  e. Word  J A. y  e. Word  J ( x ( +g  `  M
) y )  e. Word  J ) ) )
257, 9, 19, 24mpbir3and 1135 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> Word  J  e.  (SubMnd `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  Word cword 11419   concat cconcat 11420   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Mndcmnd 14377  SubMndcsubmnd 14430  freeMndcfrmd 14485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-frmd 14487
  Copyright terms: Public domain W3C validator