Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup1 Structured version   Unicode version

Theorem frmdup1 14801
 Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m freeMnd
frmdup.b
frmdup.e Word g
frmdup.g
frmdup.i
frmdup.a
Assertion
Ref Expression
frmdup1 MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem frmdup1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4
2 frmdup.m . . . . 5 freeMnd
32frmdmnd 14796 . . . 4
41, 3syl 16 . . 3
5 frmdup.g . . 3
64, 5jca 519 . 2
75adantr 452 . . . . . 6 Word
8 simpr 448 . . . . . . 7 Word Word
9 frmdup.a . . . . . . . 8
109adantr 452 . . . . . . 7 Word
11 wrdco 11792 . . . . . . 7 Word Word
128, 10, 11syl2anc 643 . . . . . 6 Word Word
13 frmdup.b . . . . . . 7
1413gsumwcl 14778 . . . . . 6 Word g
157, 12, 14syl2anc 643 . . . . 5 Word g
16 frmdup.e . . . . 5 Word g
1715, 16fmptd 5885 . . . 4 Word
18 eqid 2435 . . . . . . 7
192, 18frmdbas 14789 . . . . . 6 Word
201, 19syl 16 . . . . 5 Word
2120feq2d 5573 . . . 4 Word
2217, 21mpbird 224 . . 3
232, 18frmdelbas 14790 . . . . . . . . 9 Word
2423ad2antrl 709 . . . . . . . 8 Word
252, 18frmdelbas 14790 . . . . . . . . 9 Word
2625ad2antll 710 . . . . . . . 8 Word
279adantr 452 . . . . . . . 8
28 ccatco 11796 . . . . . . . 8 Word Word concat concat
2924, 26, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . 7 concat concat
3029oveq2d 6089 . . . . . 6 g concat g concat
315adantr 452 . . . . . . 7
32 wrdco 11792 . . . . . . . 8 Word Word
3324, 27, 32syl2anc 643 . . . . . . 7 Word
34 wrdco 11792 . . . . . . . 8 Word Word
3526, 27, 34syl2anc 643 . . . . . . 7 Word
36 eqid 2435 . . . . . . . 8
3713, 36gsumccat 14779 . . . . . . 7 Word Word g concat g g
3831, 33, 35, 37syl3anc 1184 . . . . . 6 g concat g g
3930, 38eqtrd 2467 . . . . 5 g concat g g
40 eqid 2435 . . . . . . . . 9
412, 18, 40frmdadd 14792 . . . . . . . 8 concat
4241adantl 453 . . . . . . 7 concat
4342fveq2d 5724 . . . . . 6 concat
44 ccatcl 11735 . . . . . . . 8 Word Word concat Word
4524, 26, 44syl2anc 643 . . . . . . 7 concat Word
46 coeq2 5023 . . . . . . . . 9 concat concat
4746oveq2d 6089 . . . . . . . 8 concat g g concat
48 ovex 6098 . . . . . . . 8 g
4947, 16, 48fvmpt3i 5801 . . . . . . 7 concat Word concat g concat
5045, 49syl 16 . . . . . 6 concat g concat
5143, 50eqtrd 2467 . . . . 5 g concat
52 coeq2 5023 . . . . . . . . 9
5352oveq2d 6089 . . . . . . . 8 g g
5453, 16, 48fvmpt3i 5801 . . . . . . 7 Word g
55 coeq2 5023 . . . . . . . . 9
5655oveq2d 6089 . . . . . . . 8 g g
5756, 16, 48fvmpt3i 5801 . . . . . . 7 Word g
5854, 57oveqan12d 6092 . . . . . 6 Word Word g g
5924, 26, 58syl2anc 643 . . . . 5 g g
6039, 51, 593eqtr4d 2477 . . . 4
6160ralrimivva 2790 . . 3
62 wrd0 11724 . . . 4 Word
63 coeq2 5023 . . . . . . . 8
64 co02 5375 . . . . . . . 8
6563, 64syl6eq 2483 . . . . . . 7
6665oveq2d 6089 . . . . . 6 g g
67 eqid 2435 . . . . . . 7
6867gsum0 14772 . . . . . 6 g
6966, 68syl6eq 2483 . . . . 5 g
7069, 16, 48fvmpt3i 5801 . . . 4 Word
7162, 70mp1i 12 . . 3
7222, 61, 713jca 1134 . 2
732frmd0 14797 . . 3
7418, 13, 40, 36, 73, 67ismhm 14732 . 2 MndHom
756, 72, 74sylanbrc 646 1 MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  c0 3620   cmpt 4258   ccom 4874  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  Word cword 11709   concat cconcat 11710  cbs 13461   cplusg 13521  c0g 13715   g cgsu 13716  cmnd 14676   MndHom cmhm 14728  freeMndcfrmd 14784 This theorem is referenced by:  frmdup3  14803 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-word 11715  df-concat 11716  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-frmd 14786
 Copyright terms: Public domain W3C validator