MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup2 Unicode version

Theorem frmdup2 14487
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdup.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
frmdup.e  |-  E  =  ( x  e. Word  I  |->  ( G  gsumg  ( A  o.  x
) ) )
frmdup.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
frmdup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
frmdup.a  |-  ( ph  ->  A : I --> B )
frmdup2.u  |-  U  =  (varFMnd `  I )
frmdup2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
Assertion
Ref Expression
frmdup2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( A `
 Y ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, G    ph, x    x, Y    x, I
Allowed substitution hints:    U( x)    E( x)    M( x)    X( x)

Proof of Theorem frmdup2
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
2 frmdup2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
3 frmdup2.u . . . . 5  |-  U  =  (varFMnd `  I )
43vrmdval 14479 . . . 4  |-  ( ( I  e.  X  /\  Y  e.  I )  ->  ( U `  Y
)  =  <" Y "> )
51, 2, 4syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  Y
)  =  <" Y "> )
65fveq2d 5529 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( E `
 <" Y "> ) )
72s1cld 11442 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" Y ">  e. Word  I )
8 coeq2 4842 . . . . . 6  |-  ( x  =  <" Y ">  ->  ( A  o.  x )  =  ( A  o.  <" Y "> ) )
98oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( x  =  <" Y ">  ->  ( G  gsumg  ( A  o.  x ) )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> ) ) )
10 frmdup.e . . . . 5  |-  E  =  ( x  e. Word  I  |->  ( G  gsumg  ( A  o.  x
) ) )
11 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( G 
gsumg  ( A  o.  x
) )  e.  _V
129, 10, 11fvmpt3i 5605 . . . 4  |-  ( <" Y ">  e. Word  I  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> )
) )
137, 12syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> ) ) )
14 frmdup.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : I --> B )
15 s1co 11488 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  I  /\  A : I --> B )  ->  ( A  o.  <" Y "> )  =  <" ( A `  Y ) "> )
162, 14, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  <" Y "> )  =  <" ( A `
 Y ) "> )
1716oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> )
)  =  ( G 
gsumg  <" ( A `  Y ) "> ) )
18 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( A : I --> B  /\  Y  e.  I )  ->  ( A `  Y
)  e.  B )
1914, 2, 18syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A `  Y
)  e.  B )
20 frmdup.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2120gsumws1 14462 . . . 4  |-  ( ( A `  Y )  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" ( A `  Y ) "> )  =  ( A `  Y ) )
2219, 21syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg 
<" ( A `  Y ) "> )  =  ( A `  Y ) )
2313, 17, 223eqtrd 2319 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( A `  Y ) )
246, 23eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( A `
 Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  Word cword 11403   <"cs1 11405   Basecbs 13148    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  freeMndcfrmd 14469  varFMndcvrmd 14470
This theorem is referenced by:  frmdup3  14488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-word 11409  df-s1 11411  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-vrmd 14472
  Copyright terms: Public domain W3C validator