MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup2 Structured version   Unicode version

Theorem frmdup2 14810
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdup.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
frmdup.e  |-  E  =  ( x  e. Word  I  |->  ( G  gsumg  ( A  o.  x
) ) )
frmdup.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
frmdup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
frmdup.a  |-  ( ph  ->  A : I --> B )
frmdup2.u  |-  U  =  (varFMnd `  I )
frmdup2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
Assertion
Ref Expression
frmdup2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( A `
 Y ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, G    ph, x    x, Y    x, I
Allowed substitution hints:    U( x)    E( x)    M( x)    X( x)

Proof of Theorem frmdup2
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
2 frmdup2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
3 frmdup2.u . . . . 5  |-  U  =  (varFMnd `  I )
43vrmdval 14802 . . . 4  |-  ( ( I  e.  X  /\  Y  e.  I )  ->  ( U `  Y
)  =  <" Y "> )
51, 2, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  Y
)  =  <" Y "> )
65fveq2d 5732 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( E `
 <" Y "> ) )
72s1cld 11756 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" Y ">  e. Word  I )
8 coeq2 5031 . . . . . 6  |-  ( x  =  <" Y ">  ->  ( A  o.  x )  =  ( A  o.  <" Y "> ) )
98oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( x  =  <" Y ">  ->  ( G  gsumg  ( A  o.  x ) )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> ) ) )
10 frmdup.e . . . . 5  |-  E  =  ( x  e. Word  I  |->  ( G  gsumg  ( A  o.  x
) ) )
11 ovex 6106 . . . . 5  |-  ( G 
gsumg  ( A  o.  x
) )  e.  _V
129, 10, 11fvmpt3i 5809 . . . 4  |-  ( <" Y ">  e. Word  I  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> )
) )
137, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> ) ) )
14 frmdup.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : I --> B )
15 s1co 11802 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  I  /\  A : I --> B )  ->  ( A  o.  <" Y "> )  =  <" ( A `  Y ) "> )
162, 14, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  <" Y "> )  =  <" ( A `
 Y ) "> )
1716oveq2d 6097 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> )
)  =  ( G 
gsumg  <" ( A `  Y ) "> ) )
1814, 2ffvelrnd 5871 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A `  Y
)  e.  B )
19 frmdup.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2019gsumws1 14785 . . . 4  |-  ( ( A `  Y )  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" ( A `  Y ) "> )  =  ( A `  Y ) )
2118, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg 
<" ( A `  Y ) "> )  =  ( A `  Y ) )
2213, 17, 213eqtrd 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( A `  Y ) )
236, 22eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( A `
 Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4266    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081  Word cword 11717   <"cs1 11719   Basecbs 13469    gsumg cgsu 13724   Mndcmnd 14684  freeMndcfrmd 14792  varFMndcvrmd 14793
This theorem is referenced by:  frmdup3  14811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-word 11723  df-s1 11725  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-vrmd 14795
  Copyright terms: Public domain W3C validator