MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup2 Unicode version

Theorem frmdup2 14503
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdup.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
frmdup.e  |-  E  =  ( x  e. Word  I  |->  ( G  gsumg  ( A  o.  x
) ) )
frmdup.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
frmdup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
frmdup.a  |-  ( ph  ->  A : I --> B )
frmdup2.u  |-  U  =  (varFMnd `  I )
frmdup2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
Assertion
Ref Expression
frmdup2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( A `
 Y ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, G    ph, x    x, Y    x, I
Allowed substitution hints:    U( x)    E( x)    M( x)    X( x)

Proof of Theorem frmdup2
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
2 frmdup2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
3 frmdup2.u . . . . 5  |-  U  =  (varFMnd `  I )
43vrmdval 14495 . . . 4  |-  ( ( I  e.  X  /\  Y  e.  I )  ->  ( U `  Y
)  =  <" Y "> )
51, 2, 4syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  Y
)  =  <" Y "> )
65fveq2d 5545 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( E `
 <" Y "> ) )
72s1cld 11458 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" Y ">  e. Word  I )
8 coeq2 4858 . . . . . 6  |-  ( x  =  <" Y ">  ->  ( A  o.  x )  =  ( A  o.  <" Y "> ) )
98oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  <" Y ">  ->  ( G  gsumg  ( A  o.  x ) )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> ) ) )
10 frmdup.e . . . . 5  |-  E  =  ( x  e. Word  I  |->  ( G  gsumg  ( A  o.  x
) ) )
11 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( G 
gsumg  ( A  o.  x
) )  e.  _V
129, 10, 11fvmpt3i 5621 . . . 4  |-  ( <" Y ">  e. Word  I  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> )
) )
137, 12syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> ) ) )
14 frmdup.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : I --> B )
15 s1co 11504 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  I  /\  A : I --> B )  ->  ( A  o.  <" Y "> )  =  <" ( A `  Y ) "> )
162, 14, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  <" Y "> )  =  <" ( A `
 Y ) "> )
1716oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( A  o.  <" Y "> )
)  =  ( G 
gsumg  <" ( A `  Y ) "> ) )
18 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( A : I --> B  /\  Y  e.  I )  ->  ( A `  Y
)  e.  B )
1914, 2, 18syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A `  Y
)  e.  B )
20 frmdup.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2120gsumws1 14478 . . . 4  |-  ( ( A `  Y )  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" ( A `  Y ) "> )  =  ( A `  Y ) )
2219, 21syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg 
<" ( A `  Y ) "> )  =  ( A `  Y ) )
2313, 17, 223eqtrd 2332 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  <" Y "> )  =  ( A `  Y ) )
246, 23eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( A `
 Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    e. cmpt 4093    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  Word cword 11419   <"cs1 11421   Basecbs 13164    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377  freeMndcfrmd 14485  varFMndcvrmd 14486
This theorem is referenced by:  frmdup3  14504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-word 11425  df-s1 11427  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-vrmd 14488
  Copyright terms: Public domain W3C validator