MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdval Unicode version

Theorem frmdval 14473
Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdval.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdval.b  |-  ( I  e.  V  ->  B  = Word  I )
frmdval.p  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
frmdval  |-  ( I  e.  V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )

Proof of Theorem frmdval
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdval.m . 2  |-  M  =  (freeMnd `  I )
2 df-frmd 14471 . . . 4  |- freeMnd  =  ( i  e.  _V  |->  {
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. } )
32a1i 10 . . 3  |-  ( I  e.  V  -> freeMnd  =  ( i  e.  _V  |->  {
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. } ) )
4 wrdeq 11424 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  -> Word  i  = Word 
I )
5 frmdval.b . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  B  = Word  I )
65eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  -> Word  I  =  B )
74, 6sylan9eqr 2337 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> Word  i  =  B )
87opeq2d 3803 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> 
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >.  =  <. (
Base `  ndx ) ,  B >. )
97, 7xpeq12d 4714 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  (Word  i  X. Word  i
)  =  ( B  X.  B ) )
109reseq2d 4955 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  ( concat  |`  (Word  i  X. Word 
i ) )  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) )
11 frmdval.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )
1210, 11syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  ( concat  |`  (Word  i  X. Word 
i ) )  = 
.+  )
1312opeq2d 3803 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) )
>.  =  <. ( +g  ` 
ndx ) ,  .+  >.
)
148, 13preq12d 3714 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  { <. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. } )
15 elex 2796 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
16 prex 4217 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }  e.  _V
1716a1i 10 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }  e.  _V )
183, 14, 15, 17fvmptd 5606 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (freeMnd `  I )  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )
191, 18syl5eq 2327 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {cpr 3641   <.cop 3643    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5255  Word cword 11403   concat cconcat 11404   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  freeMndcfrmd 14469
This theorem is referenced by:  frmdbas  14474  frmdplusg  14476
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-word 11409  df-frmd 14471
  Copyright terms: Public domain W3C validator