MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdval Unicode version

Theorem frmdval 14489
Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdval.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdval.b  |-  ( I  e.  V  ->  B  = Word  I )
frmdval.p  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
frmdval  |-  ( I  e.  V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )

Proof of Theorem frmdval
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdval.m . 2  |-  M  =  (freeMnd `  I )
2 df-frmd 14487 . . . 4  |- freeMnd  =  ( i  e.  _V  |->  {
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. } )
32a1i 10 . . 3  |-  ( I  e.  V  -> freeMnd  =  ( i  e.  _V  |->  {
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. } ) )
4 wrdeq 11440 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  -> Word  i  = Word 
I )
5 frmdval.b . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  B  = Word  I )
65eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  -> Word  I  =  B )
74, 6sylan9eqr 2350 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> Word  i  =  B )
87opeq2d 3819 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> 
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >.  =  <. (
Base `  ndx ) ,  B >. )
97, 7xpeq12d 4730 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  (Word  i  X. Word  i
)  =  ( B  X.  B ) )
109reseq2d 4971 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  ( concat  |`  (Word  i  X. Word 
i ) )  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) )
11 frmdval.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )
1210, 11syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  ( concat  |`  (Word  i  X. Word 
i ) )  = 
.+  )
1312opeq2d 3819 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) )
>.  =  <. ( +g  ` 
ndx ) ,  .+  >.
)
148, 13preq12d 3727 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  { <. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. } )
15 elex 2809 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
16 prex 4233 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }  e.  _V
1716a1i 10 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }  e.  _V )
183, 14, 15, 17fvmptd 5622 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (freeMnd `  I )  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )
191, 18syl5eq 2340 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {cpr 3654   <.cop 3656    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271  Word cword 11419   concat cconcat 11420   ndxcnx 13161   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  freeMndcfrmd 14485
This theorem is referenced by:  frmdbas  14490  frmdplusg  14492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-word 11425  df-frmd 14487
  Copyright terms: Public domain W3C validator