MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdval Unicode version

Theorem frmdval 14725
Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdval.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdval.b  |-  ( I  e.  V  ->  B  = Word  I )
frmdval.p  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
frmdval  |-  ( I  e.  V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )

Proof of Theorem frmdval
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdval.m . 2  |-  M  =  (freeMnd `  I )
2 df-frmd 14723 . . . 4  |- freeMnd  =  ( i  e.  _V  |->  {
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. } )
32a1i 11 . . 3  |-  ( I  e.  V  -> freeMnd  =  ( i  e.  _V  |->  {
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. } ) )
4 wrdeq 11667 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  -> Word  i  = Word 
I )
5 frmdval.b . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  B  = Word  I )
65eqcomd 2394 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  -> Word  I  =  B )
74, 6sylan9eqr 2443 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> Word  i  =  B )
87opeq2d 3935 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> 
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >.  =  <. (
Base `  ndx ) ,  B >. )
97, 7xpeq12d 4845 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  (Word  i  X. Word  i
)  =  ( B  X.  B ) )
109reseq2d 5088 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  ( concat  |`  (Word  i  X. Word 
i ) )  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) )
11 frmdval.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )
1210, 11syl6eqr 2439 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  ( concat  |`  (Word  i  X. Word 
i ) )  = 
.+  )
1312opeq2d 3935 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) )
>.  =  <. ( +g  ` 
ndx ) ,  .+  >.
)
148, 13preq12d 3836 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  { <. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. } )
15 elex 2909 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
16 prex 4349 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }  e.  _V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }  e.  _V )
183, 14, 15, 17fvmptd 5751 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (freeMnd `  I )  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )
191, 18syl5eq 2433 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   {cpr 3760   <.cop 3762    e. cmpt 4209    X. cxp 4818    |` cres 4822   ` cfv 5396  Word cword 11646   concat cconcat 11647   ndxcnx 13395   Basecbs 13398   +g cplusg 13458  freeMndcfrmd 14721
This theorem is referenced by:  frmdbas  14726  frmdplusg  14728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-word 11652  df-frmd 14723
  Copyright terms: Public domain W3C validator