Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frmy Unicode version

Theorem frmy 26505
Description: The Y sequence is an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
frmy  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ

Proof of Theorem frmy
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmxyelxp 26503 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) )  e.  ( NN0  X.  ZZ ) )
2 xp2nd 6277 . . . 4  |-  ( ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) )  e.  ( NN0  X.  ZZ )  ->  ( 2nd `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) ) )  e.  ZZ )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( 2nd `  ( `' ( c  e.  ( NN0 
X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c
)  +  ( ( sqr `  ( ( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c
) ) ) ) `
 ( ( a  +  ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ b
) ) )  e.  ZZ )
43rgen2 2724 . 2  |-  A. a  e.  ( ZZ>= `  2 ) A. b  e.  ZZ  ( 2nd `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ ) 
|->  ( ( 1st `  c
)  +  ( ( sqr `  ( ( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c
) ) ) ) `
 ( ( a  +  ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ b
) ) )  e.  ZZ
5 df-rmy 26494 . . 3  |- Yrm  =  (
a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ,  b  e.  ZZ  |->  ( 2nd `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  (
( a  +  ( sqr `  ( ( a ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ b ) ) ) )
65fmpt2 6318 . 2  |-  ( A. a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) A. b  e.  ZZ  ( 2nd `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) ) )  e.  ZZ  <-> Yrm  : ( (
ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ )
74, 6mpbi 199 1  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    e. wcel 1715   A.wral 2628    e. cmpt 4179    X. cxp 4790   `'ccnv 4791   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1stc1st 6247   2ndc2nd 6248   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889    - cmin 9184   2c2 9942   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   ^cexp 11269   sqrcsqr 11925   Yrm crmy 26492
This theorem is referenced by:  rmxycomplete  26508  rmxynorm  26509  rmxyneg  26511  rmxyadd  26512  rmxy1  26513  rmxy0  26514  rmxp1  26523  rmxm1  26525  rmym1  26526  rmxluc  26527  rmyluc  26528  rmyluc2  26529  rmxdbl  26530  rmydbl  26531  rmxypos  26540  ltrmynn0  26541  ltrmxnn0  26542  ltrmy  26545  rmyeq0  26546  rmyeq  26547  lermy  26548  rmynn  26549  rmynn0  26550  rmyabs  26551  jm2.24nn  26552  jm2.17a  26553  jm2.17b  26554  jm2.17c  26555  jm2.24  26556  rmygeid  26557  jm2.18  26587  jm2.19lem1  26588  jm2.19lem2  26589  jm2.19  26592  jm2.22  26594  jm2.23  26595  jm2.20nn  26596  jm2.25  26598  jm2.26a  26599  jm2.26lem3  26600  jm2.26  26601  jm2.15nn0  26602  jm2.16nn0  26603  jm2.27a  26604  jm2.27c  26606  rmydioph  26613  jm3.1lem1  26616  jm3.1  26619  expdiophlem1  26620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-shft 11769  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-ef 12557  df-sin 12559  df-cos 12560  df-pi 12562  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-numer 13014  df-denom 13015  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596  df-limc 19431  df-dv 19432  df-log 20132  df-squarenn 26432  df-pell1qr 26433  df-pell14qr 26434  df-pell1234qr 26435  df-pellfund 26436  df-rmy 26494
  Copyright terms: Public domain W3C validator