Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrlem10 Unicode version

Theorem frrlem10 25317
Description: Lemma for founded recursion. The union of all acceptable functions is a function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem10.1  |-  R  Fr  A
frrlem10.2  |-  R Se  A
frrlem10.3  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
frrlem10.4  |-  F  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
frrlem10  |-  Fun  F
Distinct variable groups:    A, f, x, y    x, F    f, G, x, y    R, f, x, y    x, B
Allowed substitution hints:    B( y, f)    F( y, f)

Proof of Theorem frrlem10
StepHypRef Expression
1 ssid 3311 . . 3  |-  B  C_  B
2 frrlem10.1 . . . 4  |-  R  Fr  A
3 frrlem10.2 . . . 4  |-  R Se  A
4 frrlem10.3 . . . 4  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
52, 3, 4frrlem5c 25312 . . 3  |-  ( B 
C_  B  ->  Fun  U. B )
61, 5ax-mp 8 . 2  |-  Fun  U. B
7 frrlem10.4 . . 3  |-  F  = 
U. B
87funeqi 5415 . 2  |-  ( Fun 
F  <->  Fun  U. B )
96, 8mpbir 201 1  |-  Fun  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649   {cab 2374   A.wral 2650    C_ wss 3264   U.cuni 3958    Fr wfr 4480   Se wse 4481    |` cres 4821   Fun wfun 5389    Fn wfn 5390   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Predcpred 25192
This theorem is referenced by:  frrlem11  25318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-pred 25193  df-trpred 25246
  Copyright terms: Public domain W3C validator