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Theorem frrlem11 25596
Description: Lemma for founded recursion. Here, we calculate the value of  F (the union of all acceptable functions). (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem10.1  |-  R  Fr  A
frrlem10.2  |-  R Se  A
frrlem10.3  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
frrlem10.4  |-  F  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
frrlem11  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x, y    x, F    f, G, x, y    R, f, x, y    x, B   
f, F
Allowed substitution hints:    B( y, f)    F( y)

Proof of Theorem frrlem11
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . 3  |-  y  e. 
_V
21eldm2 5070 . 2  |-  ( y  e.  dom  F  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  F )
3 frrlem10.4 . . . . . . 7  |-  F  = 
U. B
4 frrlem10.3 . . . . . . . 8  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
54unieqi 4027 . . . . . . 7  |-  U. B  =  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
63, 5eqtri 2458 . . . . . 6  |-  F  = 
U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
76eleq2i 2502 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  <->  <. y ,  z
>.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) } )
8 eluniab 4029 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }  <->  E. f ( <. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) )
97, 8bitri 242 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  <->  E. f ( <.
y ,  z >.  e.  f  /\  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
104abeq2i 2545 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  B  <->  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )
11 elssuni 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  B  ->  f  C_ 
U. B )
1211, 3syl6sseqr 3397 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  B  ->  f  C_  F )
1310, 12sylbir 206 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
f  C_  F )
14 fnop 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  x  /\  <.
y ,  z >.  e.  f )  ->  y  e.  x )
1514ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  f  ->  y  e.  x ) )
16 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( y  e.  x  ->  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
1716impcom 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  ->  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
18 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x ) )
19 fndm 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  Fn  x  ->  dom  f  =  x )
20 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( dom  f  =  x  -> 
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  <->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )
)
21 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( dom  f  =  x  -> 
( y  e.  dom  f 
<->  y  e.  x ) )
2220, 21anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( dom  f  =  x  -> 
( ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f )  <->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  y  e.  x
) ) )
2319, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  <->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  y  e.  x
) ) )
2423biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  y  e.  x )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) )
2524exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) ) )
2625impcom 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  f  Fn  x )  ->  (
y  e.  x  -> 
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) )
27 frrlem10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  R  Fr  A
28 frrlem10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  R Se  A
2927, 28, 4, 3frrlem10 25595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  Fun  F
30 funssfv 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  y  e. 
dom  f )  -> 
( F `  y
)  =  ( f `
 y ) )
31303adant3l 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( F `  y )  =  ( f `  y ) )
32 fun2ssres 5496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )
33323adant3r 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )
3433oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
3531, 34eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( F `
 y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
3635biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( f `
 y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
3729, 36mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( f `
 y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
3837expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( f  C_  F  ->  ( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
3938com23 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
4026, 39syl6com 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  f  Fn  x )  ->  (
( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
4140exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( f  Fn  x  ->  ( (
f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4241com34 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( ( f `
 y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  -> 
( f  Fn  x  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) ) )
4318, 42sylcom 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) ) )
4443adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  Fn  x  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4544com14 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4617, 45syl7 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( y  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4746exp4a 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) ) )
4847pm2.43d 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4948com34 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
5049imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
5150exp3a 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( x  C_  A  ->  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
52513impd 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5352ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) )
5415, 53syld 43 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  f  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) )
5554com12 30 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( f  Fn  x  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) )
5655imp3a 422 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5756exlimdv 1647 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5813, 57mpdi 41 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
5958imp 420 . . . . 5  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
6059exlimiv 1645 . . . 4  |-  ( E. f ( <. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
619, 60sylbi 189 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  ->  ( F `
 y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
6261exlimiv 1645 . 2  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
632, 62sylbi 189 1  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707    C_ wss 3322   <.cop 3819   U.cuni 4017    Fr wfr 4540   Se wse 4541   dom cdm 4880    |` cres 4882   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Predcpred 25440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-pred 25441  df-trpred 25498
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