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Theorem frrlem11 24293
Description: Lemma for founded recursion. Here, we calculate the value of  F (the union of all acceptable functions). (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem10.1  |-  R  Fr  A
frrlem10.2  |-  R Se  A
frrlem10.3  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
frrlem10.4  |-  F  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
frrlem11  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x, y    x, F    f, G, x, y    R, f, x, y    x, B   
f, F
Allowed substitution hints:    B( y, f)    F( y)

Proof of Theorem frrlem11
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . 3  |-  y  e. 
_V
21eldm2 4877 . 2  |-  ( y  e.  dom  F  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  F )
3 frrlem10.4 . . . . . . 7  |-  F  = 
U. B
4 frrlem10.3 . . . . . . . 8  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
54unieqi 3837 . . . . . . 7  |-  U. B  =  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
63, 5eqtri 2303 . . . . . 6  |-  F  = 
U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
76eleq2i 2347 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  <->  <. y ,  z
>.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) } )
8 eluniab 3839 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }  <->  E. f ( <. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) )
97, 8bitri 240 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  <->  E. f ( <.
y ,  z >.  e.  f  /\  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
104abeq2i 2390 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  B  <->  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )
11 elssuni 3855 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  B  ->  f  C_ 
U. B )
1211, 3syl6sseqr 3225 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  B  ->  f  C_  F )
1310, 12sylbir 204 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
f  C_  F )
14 fnop 5347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  x  /\  <.
y ,  z >.  e.  f )  ->  y  e.  x )
1514ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  f  ->  y  e.  x ) )
16 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( y  e.  x  ->  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
1716impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  ->  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
18 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x ) )
19 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  Fn  x  ->  dom  f  =  x )
20 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( dom  f  =  x  -> 
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  <->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )
)
21 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( dom  f  =  x  -> 
( y  e.  dom  f 
<->  y  e.  x ) )
2220, 21anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( dom  f  =  x  -> 
( ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f )  <->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  y  e.  x
) ) )
2319, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  <->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  y  e.  x
) ) )
2423biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  y  e.  x )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) )
2524exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) ) )
2625impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  f  Fn  x )  ->  (
y  e.  x  -> 
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) )
27 frrlem10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  R  Fr  A
28 frrlem10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  R Se  A
2927, 28, 4, 3frrlem10 24292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  Fun  F
30 funssfv 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  y  e. 
dom  f )  -> 
( F `  y
)  =  ( f `
 y ) )
31303adant3l 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( F `  y )  =  ( f `  y ) )
32 fun2ssres 5295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )
33323adant3r 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )
3433oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
3531, 34eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( F `
 y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
3635biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( f `
 y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
3729, 36mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( f `
 y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
3837expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( f  C_  F  ->  ( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
3938com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
4026, 39syl6com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  f  Fn  x )  ->  (
( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
4140exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( f  Fn  x  ->  ( (
f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4241com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( ( f `
 y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  -> 
( f  Fn  x  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) ) )
4318, 42sylcom 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) ) )
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  Fn  x  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4544com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4617, 45syl7 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( y  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4746exp4a 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) ) )
4847pm2.43d 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4948com34 77 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
5049imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
5150exp3a 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( x  C_  A  ->  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
52513impd 1165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5352ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) )
5415, 53syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  f  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) )
5554com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( f  Fn  x  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) )
5655imp3a 420 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5756exlimdv 1664 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5813, 57mpdi 38 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
5958imp 418 . . . . 5  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
6059exlimiv 1666 . . . 4  |-  ( E. f ( <. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
619, 60sylbi 187 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  ->  ( F `
 y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
6261exlimiv 1666 . 2  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
632, 62sylbi 187 1  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543    C_ wss 3152   <.cop 3643   U.cuni 3827    Fr wfr 4349   Se wse 4350   dom cdm 4689    |` cres 4691   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Predcpred 24167
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-pred 24168  df-trpred 24221
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